¿Cómo parametrizo esta curva?

Parametrizar viene a ser como resolver las ecuaciones, solo que al ser tres variables y solo dos ecuaciones no hay respuesta única sino infinitas dependiendo de un parámetro.
Tomemos el parámetro t y vamos a asignarlo a cualquier variable, por ejemplo a la por, tendremos así parametrizada la primera variable por simple definición:
x = t
Ahora vayamos a le ecución segunda
x+y=z  ==> t+y=z  ==> y=z-t
Y con ese valor vamois a la primera
x^2 + y^2 + z^2 = 4  ==> sustituyendo
t^2 + (z-t)^2 + z^2 - 4 = 0  ==> desarrolando el cuadrado
t^2 + t^2 + z^2 - 2tz + z^2 - 4 = 0 ==> agrupando
2z^2 - 2tz + 2t^2 - 4 = 0  ==> dividiendo por 2
z^2 - tz + t^2 - 2 = 0
Es una ecuacion de segundo grado en z con algunos parámetros en lugar de números, en concreto a=1, b=-t  y c=t^2-2
z = (t+-sqrt(t^2-4t^2+8)) / 2  tomemos la positiva y ya tendremos parametrizada la z
z = (t+sqrt(8-3t^2)) / 2
ahora nos queda la y, que en una igualdad de ariba era
y = z - t = (t+sqrt(8-3t^2)) / 2 - t 
y = (-t+sqrt(8-3t^2)) / 2
Si la curva es real, que no lo dices pero creo que lo será, comprobamos que tenemos una raíz cuadrada cuyo discriminante podría ser negativo y carecería de sentido. Por eso acoteremos el parámetro t de modo que
8-3t^2 >= 0
8 >= 3t^2
t^2 <= 8/3
t en [-sqrt(8/3), sqrt(8/3)]
En resumen, la curva es una función f(t) de [-sqrt(8/3), sqrt(8/3)] en R3 cuyo valor es
f(t) = (t,  (-t+sqrt(8-3t^2)) / 2,  (t+sqrt(8-3t^2)) / 2)
Y eso es todo, espero que te haya servido y lo hallas entendido. No te olvides de puntuar y cerrar la pregunta así como pedir aclaraciones si las necesitas.