Derivabilidad y continuidad de las funciones

Lo que te dan no es un sistema sino una función a trozos
En principio cada trozo de función es continua por ser polinimios, el problema está en el punto donde se unen las funciones, en este caso en x=1
para que sea continua el limite por la izquierda y el limite por la derecha deben coincidir
el limite por la izquierda es :  Lim[x->1-](x^3 - 12x + 1)= 1-12+1=-10
el limite por la deecha es :  Lim[x->1+](20x^2 + bx + c)=20+b+c
de donde se saca que 20+b+c=-10  --> b+c=-30   ya tenemos una ecuación
Para que sea deribable, la derivada debe ser continua
la derivada es 
3x^2-12   si 0<=x<=1
40x+b     si 1<x<=2
para que sea continua el limite por la izquierda y el limite por la derecha deben coincidir
el limite por la izquierda es :  Lim[x->1-](3x^2 - 12)= 3-12=-9
el limite por la deecha es :  Lim[x->1+](40x+b)=40+b
de donde se saca que 40+b=-9  --> b=-49
por lo que nos queda el sistema
b+c=-30
b=-49
sustituyendo b en la 1ª   -49+c=-30  --> c=19

¿Y lo de Hallar b y c para que la función sea continua y derivable en (0,2) qué es?
Y por qué se hace en x= 1 y no en x= 2 si también es un agujero cerrado?