Determinar asíntotas

Empezaremos por la asíntotas horizontales.
Se dan cuando el limite cuando por tiende a +o- infinito es finito.
Lim(2x^2 + x + 2) / (x^2 - 1)=infinito/infinito  por ser polinomios del mismo grado el limite es el cociente de sus terminos de mayor grado 2/1=2
Por lo que tiene una asíntota horizontal en y=2. Por tener asíntota horizontal no puede tener asíntota oblicua.
Asíntotas verticales.
Es en los valores de x donde el limite es infinito, son los valores donde el denominador es 0
x^2-1=0  --> x=1  y x=-1
por lo que tiene dos asintotas verticales en x=1 y x=-1.

Las asíntotas horizontales se calculas haciendo el limite cuando la función tiende a infinito, si el límite es diferente de + o - infinito es que hay una asíntota horizontal.
hacemos lim         2x2+x+2 = 2
               x->+inf x2-1
Las asíntotas verticales se calculan que valor del denominador da 0.
x2-1=0
x=1,x=-1
Por tanto las asíntotas verticales están en x=1 y en x=-1
La asíntota oblicua se averigua haciendo f(x)/x=Numero real
En tu caso es 2x2+x+2 Esto quedaría, la x la pasamos al numerador
                     X2-1
                            x
lim        x(2x2+x+2)= +inf.  
x->inf x2-1
Como da +infinito y no un numero significa que no hay asíntota oblicua.
Para que lo veas más rápido.
Si numerador y el denominador tienen el mismo coeficiente hay asíntota horizontal.
Si el numerador es de un grado menos hay asíntota oblicua