Problema de optimización!

-Hola, espero me puedas resolver este problema de optimización!, que e estado batallando con el...
Bien este es el problema:
-La base de un triangulo isósceles tiene 20m y una altura 40m. Un rectángulo inscrito en el triangulo de tal manera que dos de sus vértices quedan en la base. Expresar el área del rectángulo en función de su largo.
-Espero puedas resolverlo, muchas gracias y espero la respuesta pronta!
-saludos y gracias!!=D
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1 Respuesta

92.575 pts. Ingeniero Industrial, experiencia en OyM, PCP en...
No esta muy claro tu problema y no me dices en que nivel de estudios te encuentras, voy a resolver (según como lo entiendo) un problema de maximización:
Voy a hacerlo de dos maneras:
1) Por análisis matemático. Supongamos que el triangulo isósceles esta apoyado en el origen de coordenadas, entonces sus vértices serían: (-10,0), (10,0) y (0,40); el rectángulo buscado tendría como vértices: (-x, 0), (x, 0), (x, y) y (-x, y).
Vamos a trabajar solo con el lado derecho del triangulo, el lado derecho sería la recta:
y = 40 - 4x
Luego el área de este rectangulo es: A = x.y
Pero como y esta en la recta del lado, lo reemplazamos:
A = x . (40 - 4x) ---> A = 40x - 4x^2
Como queremos que esta área sea máxima, derivamos el área:
A' = 40 - 8x ---> en el máximo: A' = 0 ===> 40 - 8x = 0 ---> x = 5 ===> y = 20
Como trabajamos  con la mitad, tenemos que la base del rectángulo es 10 y altura 20.
2) Por semejanza de triángulos. Construimos el rectángulo de base "b" en la base del isósceles y los otros vértices en sus lados (la medida de los otros lados es "a").
Hacemos la siguiente relación:
"a" es a "(20-b)/2" como "40" es a "20/2"
Es decir:
a / (10-b/2) = 40/10 ---> a = 40 - 2b
Como el área de rectangulo es: A = a . b  reemplazamos:
A = (40-2b) . b = 40b - 2b^2
Para maximizar derivamos e igualamos a cero:
A' = 40 - 4b = 0 ---> b = 10   y   a = 20 igual que en la solución anterior.
-Hola disculpa por no haberme explicado bien,
pero me gusto la forma en que resolviste el problema en la primer forma, y me pareció más entendible, mira voi en 4to semestre de bachillerato y estamos viendo los problemas de oprimizacion, lo cual se me dificulta un poco llegar al planteamiento y razonarlo y fue por eso que decidí acudir aquí.
Puedo volver a escribir de nuevo el problema ya que me falto una palabra! Mira
-La base de un rectángulo isósceles tiene 20m, y de altura 40m. Un rectángulo es inscrito en el triangulo de tal manera que dos de sus vértices quedan en la base. Expresar el área del rectángulo en función de su largo.
-Listo y muchas gracias quizá ya que te di el grado que curso lo puedas resolver de otro modo, gracias de nuevo y saludos!

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