Combinación lineal de vectores

Una combinación lineal de los vectores v2 y v3 es

av2 + bv3 con a y b pertenecientes a R

Vamos a hacer que (1, k, -1) sea combinación lineal de v2 y v3

a(-2, 0, -1) + b(1, 3, 2) = (1, k, -1)

(-2a, 0, -a) + (b, 3b, 2b) = (1, k, -1)

(-2a+b, 3b, -a+2b) = (1, k, -1)

Para que sean iguales los vectores izquierdo y derecho lo tienen que ser las tres componentes, eso nos da un sistema de tres ecuaciones

-2a + b = 1

3b = k

-a+2b = -1

Con la primera y tercera podemos calcular a y b y luego damos a k el valor que le corresponda.

Como solo necesitamos conocer b vamos a restar a la primera la tercera multiplicada por 2

0a - 3b = 3

b=-1

Y ahora calculamos k en la segunda

k = 3(-1) = -3

Luego k=-3 es la solución

Vamos a comprobarlo. Ya calculamos que b=-1, nos falta conocer a para comprobar

-2a -1 = 1

-2a=2

a=-1

Luego la combinación lineal es

-1(-2, 0, -1) - 1(1, 3, 2) = (2,0,1) -(1,3,2) = (1, -3, -1) y en efecto es el vector que nos dicen con k=-3

Y eso es todo.