Análisis matemático, ejercicios 2

1)

Si x >= y tenemos

|x-y| = x-y

como el supremo es cota superior tenemos
i) x <= sup A

y como el ínfimo es cota inferior tenemos

y >= inf A

ii) -y <= - inf A

y sumando las desigualdades i y ii queda

x-y <= sup A - inf A

|x-y| = (x-y) <= sup A - inf A

Y si x < y tendremos

|x -y| = -(x-y) = y - x

como el supremo es cota superior tenemos
i) y <= sup A
y como el ínfimo es cota inferior tenemos
x >= inf A
ii) -x <= - inf A
y sumando las desigualdades i y ii queda
y-x <= sup A - inf A
|x-y| = (y-x) <= sup A - inf A

2) Ya hemos visto en el apartado 1) que Sup A - Inf A es una cota superior del conjunto

B = {|x-y|; con x,y € A}

para que sea el supremo tenemos que demostrar que es la menor cota superior.

Supongamos que existe una cota K de B y tal que

K < sup A - inf A

|x-y| <= K < sup A - inf A para todo x,y € A

x-y <= |x-y| <= K < sup A - inf A

i) x-y <= K < sup A - inf A

por ser el ínfimo tenemos

y <= inf A

ii) y <= inf A <= inf A

sumándo i) Y II) miembro a miembro tenemos

x <= K + inf A < sup A

Pero esto es absurdo porque hemos encontrado que K+inf A es una cota superior de A menor que su supremo. Luego no puede haber una cota K superior K estrictamente menor que sup A - inf A. Y entonces sup A - inf A es el supremo de B

Y eso es todo.