Demostración utilizando la fórmula de De Moivre
Tengo que demostrar que
senx.sen(3x)=sen²(2x)-sen²x
senx.sen(3x)=sen²(2x)-sen²x
Respuesta de bocasmar
1
Primero se utiliza la relación:
cos(a)-cos(b)=-2·sen((a+b)/2)·sen((a-b)/2)
En este caso: (a+b)/2 = 3x; (a-b)/2 = x. Con lo cual a=4x, b=2x.
Por tanto:
Sen(3x)·sen(x) = (cos(2x)-cos(4x))/2. (1)
Después se utiliza la fórmula del seno del ángulo mitad:
sen(a/2) = sqrt((1-cos(2a))/2) ==> cos(2a) = 1-2·(sen(a))^2.
en este caso:
cos(2x) = 1-2·(sen(x))^2. y cos(4a) = 1-2·(sen(2x))^2.
Sustituyendo estas expresiones en la fórmula (1) se obtiene la expresión que buscas.
Saludos.
Bocasmar
NOTA: sqrt(ALGO) = raiz cuadrada(ALGO)
cos(a)-cos(b)=-2·sen((a+b)/2)·sen((a-b)/2)
En este caso: (a+b)/2 = 3x; (a-b)/2 = x. Con lo cual a=4x, b=2x.
Por tanto:
Sen(3x)·sen(x) = (cos(2x)-cos(4x))/2. (1)
Después se utiliza la fórmula del seno del ángulo mitad:
sen(a/2) = sqrt((1-cos(2a))/2) ==> cos(2a) = 1-2·(sen(a))^2.
en este caso:
cos(2x) = 1-2·(sen(x))^2. y cos(4a) = 1-2·(sen(2x))^2.
Sustituyendo estas expresiones en la fórmula (1) se obtiene la expresión que buscas.
Saludos.
Bocasmar
NOTA: sqrt(ALGO) = raiz cuadrada(ALGO)
