Ecuación de la circunferencia
Hola, me gustaría saber si me puedes ayudar a sacar la forma de obtener el valor de A, B y C de las ecuaciones de la circunferencia cuando se tienen los tres puntos, por ejemplo:
Obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: (-2,-3), (3,2) y (6,1). Se como se hace todo el procedimiento, pero no se como sacar el valor de la A, B y C.
Agradezco tu ayuda.
Obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: (-2,-3), (3,2) y (6,1). Se como se hace todo el procedimiento, pero no se como sacar el valor de la A, B y C.
Agradezco tu ayuda.
2 respuestas
Respuesta
1
Una circunferencia que tiene su centro en el origen de coordenadas tiene una ecuación:
x^2 + y^2 = r^2
Donde x^2 + y^2 es el cuadrado del radio.
Una con centro (a, b) es:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
x^2 + a^2 - 2ax + y^2 + b^2 -2by = r^2
luego x^2 y y^2 siempre tienen un 1 delante (su coeficiente)
x^2 + y^2 + (-2a)x + (-2b)y + (a^2 + b^2 -r^2) = 0
Vemos que hay tres números que faltan, y como -2a y -2b y el otro son números cualesquiera, todas las ecuaciones de la forma:
** x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0
describen siempre una circunferencia
En esta forma es relativamente facil hallar A B C mediante un grupo de ecuaciones
lineales:
el punto (-2,-3) es como el par de ecuaciones x=-2 y=-3
sustituimos en **:
4 + 9 -2A -3B + C = 0
<==> 13 = 2A + 3B - C
para (3,2):
9 + 4 +3A +2B + C = 0
<==> 3A + 2B + C = -13
para (6,1):
36 + 1 + 6A + B + C = 0
<==> 6A + B + C = -37
2A + 3B - C = 13
3A + 2B + C = -13
6A + B + C = -37
siempre lo mejor es resolver por reducion:
2 3 -1 13
3 2 1 -13
6 1 1 -37
multiplico la 2ª por 2:
2 3 -1 13
6 4 2 -26
6 1 1 -37
ahora les resto 3 veces la 1ª a la segunda y tercera:
2 3 -1 13
6 4 2 -26
6 1 1 -37
2 3 -1 13
0 -5 5 -65
0 -8 4 -76
multiplico la tercera po 5:
2 3 -1 13
0 -5 5 -65
0 -40 20 -380
le sumo 8 por la 2ª:
2 3 -1 13
0 -5 5 -65
0 0 60 -900
ya esta lo dificil que era sacar C = -900/60 = -15
-5B + -45 = -65
-5B = -110 => B = 22
y ahora A:
2A + 3*22 -1*(-15) = 13
2A + 3*22 + 15 = 13
2A = 13-81 = -(81-13)= -68 =>
A = -34
luego:
A = -34
B = 22
C = -15
Si necesitas alguna aclaración, haz me lo saber
x^2 + y^2 = r^2
Donde x^2 + y^2 es el cuadrado del radio.
Una con centro (a, b) es:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
x^2 + a^2 - 2ax + y^2 + b^2 -2by = r^2
luego x^2 y y^2 siempre tienen un 1 delante (su coeficiente)
x^2 + y^2 + (-2a)x + (-2b)y + (a^2 + b^2 -r^2) = 0
Vemos que hay tres números que faltan, y como -2a y -2b y el otro son números cualesquiera, todas las ecuaciones de la forma:
** x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0
describen siempre una circunferencia
En esta forma es relativamente facil hallar A B C mediante un grupo de ecuaciones
lineales:
el punto (-2,-3) es como el par de ecuaciones x=-2 y=-3
sustituimos en **:
4 + 9 -2A -3B + C = 0
<==> 13 = 2A + 3B - C
para (3,2):
9 + 4 +3A +2B + C = 0
<==> 3A + 2B + C = -13
para (6,1):
36 + 1 + 6A + B + C = 0
<==> 6A + B + C = -37
2A + 3B - C = 13
3A + 2B + C = -13
6A + B + C = -37
siempre lo mejor es resolver por reducion:
2 3 -1 13
3 2 1 -13
6 1 1 -37
multiplico la 2ª por 2:
2 3 -1 13
6 4 2 -26
6 1 1 -37
ahora les resto 3 veces la 1ª a la segunda y tercera:
2 3 -1 13
6 4 2 -26
6 1 1 -37
2 3 -1 13
0 -5 5 -65
0 -8 4 -76
multiplico la tercera po 5:
2 3 -1 13
0 -5 5 -65
0 -40 20 -380
le sumo 8 por la 2ª:
2 3 -1 13
0 -5 5 -65
0 0 60 -900
ya esta lo dificil que era sacar C = -900/60 = -15
-5B + -45 = -65
-5B = -110 => B = 22
y ahora A:
2A + 3*22 -1*(-15) = 13
2A + 3*22 + 15 = 13
2A = 13-81 = -(81-13)= -68 =>
A = -34
luego:
A = -34
B = 22
C = -15
Si necesitas alguna aclaración, haz me lo saber
Respuesta de gilillo
1
Disculpa que te vuelva a preguntar, pero no entiendo que es lo que no sabes sacar; textualmente pones "no se como sacar el valor de la A, B y C"; si dices que A, B y C son puntos no se a que le llamas "valor".
Me dices que sabes como se hace todo el procedimiento, ¿eso significa que sabes obtener la ecuación de la circunferencia?, si es así, no entiendo cual es la duda. Podrías tratar de describirme más un ejemplo y explica un poco más que es lo que no puedes obtener.
Me dices que sabes como se hace todo el procedimiento, ¿eso significa que sabes obtener la ecuación de la circunferencia?, si es así, no entiendo cual es la duda. Podrías tratar de describirme más un ejemplo y explica un poco más que es lo que no puedes obtener.
No se si lo que estás tratando de hacer es demostrar que la ecuación que obtuviste realmente pasa por los puntos que te dan.
podrias explicarme un poco mas que son los "A", "B" y "C" que me dices ?, no se a que te refieres;
Segun yo la ecuación de una circunferencia es
(y-yc)^2 + (x-cx)^2 = r^2
Donde yc y xc son las coordenadas del centro y r es el radio de la circunferencia, pero no se como interpretas tu el A, B y C, es decir no se que es la A, ni la B ni la C.
Segun yo la ecuación de una circunferencia es
(y-yc)^2 + (x-cx)^2 = r^2
Donde yc y xc son las coordenadas del centro y r es el radio de la circunferencia, pero no se como interpretas tu el A, B y C, es decir no se que es la A, ni la B ni la C.