Calcule la siguiente integral

Una forma sería poner la función con su expresión en e^x, veamos

$$\begin{align}&\int chx·ch(3x)dx =\\ &\\ &\int \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}  \right)\left(\frac{e^{3x}+e^{-3x}}{2}  \right)dx =\\ &\\ &\frac 14\int (e^{4x}+e^{-2x}+e^{2x}+e^{-4x})dx=\\ &\\ &\frac 14 \left(\frac{e^{4x}}{4}-\frac{e^{-2x}}{2}+\frac{e^{2x}}{2}-\frac{e^{-4x}}{4}  \right)+C=\\ &\\ &\frac 18\left(\frac{e^{4x}-e^{-4x}}{2}  \right)+\frac 14 \left(\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2} \right)+C=\\ &\\ &\\ &\frac{sh(4x)}{8}+\frac{sh(2x)}{4}+C\end{align}$$

Otra sería por partes

$$\begin{align}&I=\int chx·ch(3x)dx=\\ &\\ &u=ch(3x)\quad du=3sh(3x)dx\\ &dv=chxdx\quad v=shx\\ &\\ &=shx·ch(3x)-3\int shx·sh(3x)dx=\\ &u=sh(3x)\quad du=3ch(3x)dx\\ &dv=shxdx\quad v=chx\\ &\\ &= shx·ch(3x)-3chx·sh(3x)+9 \int chx·ch(3x)dx\\ &\\ &luego\\ &\\ &I=shx·ch(3x)-3chx·sh(3x)+9I\\ &\\ &-8I=shx·ch(3x)-3chx·sh(3x)\\ &\\ &I=\frac{3chx·sh(3x)-shx·ch(3x)}{8}+C\end{align}$$

Y al igual que pasa con las trigonométricas normales, hay 700 mil identidades posibles, ambas expresiones valen lo mismo o diferirán en una constante, si quieres las pruebas.

La segunda es sencilla de comprobar haciendo la derivada

{3[shx·sh(3x) + 3chx·ch(3x)] - chx·ch(3x) - 3shx·sh(3x)} / 8 =

[3shx·sh(3x) + 9chx·ch(3x) - chx·ch(3x) - 3shx·sh(3x)] / 8 =

8chx·ch(3x) / 8 = chx·ch(3x)

Y eso es todo.