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Hagamos operaciones. Sacaré el 3 de factor común y sumo las fracciones

$$\begin{align}&3\left(\frac{m+2n+1+2m+n+1}{(2m+n-1)(m+2n+1)}  \right)=\frac{4}{m+n}\\ &\\ &\frac{9(m+n)}{(2m+n-1)(m+2n+1)}=\frac{4}{m+n}\\ &\\ &9(m+n)^2 =4(2m+n-1)(m+2n+1)\\ &\\ &9m^2+9n^2+18mn=8m^2+16mn+8m+4mn+8n^2+4n-4m-8n-4\\ &\\ &m^2+n^2-2nm=4m-4n-4\\ &\\ &(m-n)^2=4(m-n)-4\\ &\\ &(m-n)^2-4(m-n)+4=0\\ &\\ &[(m-n)-2]^2=0\\ &\\ &m-n-2=0\\ &\\ &m=n+2\end{align}$$

Y ahora ya podemos sustituir este valor en S

$$\begin{align}&S=\frac{(m+n)(m-n)}{1+n}=\\ &\\ &\\ &\frac{(n+2+n)(n+2-n)}{1+n}=\\ &\\ &\\ &\frac{(2n+2)2}{1+n}=\frac{4(n+1)}{1+n}=4\end{align}$$

Luego la respuesta es la A

Y eso es todo.