Fracción generatriz

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Fracción generatriz de un número decimal no periódico
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Evidentemente es: el número escrito sin la coma, dividido por un uno seguido de tantos ceros como dígitos tenia el número original detrás de la coma.
Ejemplos:
a) 4,75=475/100
b) 234,6=2346/10
c) 0, 75=75/100
d) 0,0056=56/10000
Atención: si las fracciones así obtenidas se pueden simplificar es conveniente hacerlo. En los ejemplos anteriores es
a) 4,75=475/100=95/20=19/4
b) 234,6=2346/10=1173/5
c) 0, 75=75/100=15/20=3/4
d) 0,0056=54/10000=27/5000
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Fracción generatriz de un número decimal periódico puro
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Es el período dividido por tantos nueves como dígitos tenga el período.
Ejemplos
e) 0,237237237237...= 237/999
f) 0,777777...............= 9/7
g) 0,142857142857142857...= 142857/999999
h) 0,33333333333333......= 3/9
Atención: si las fracciones así obtenidas se pueden simplificar es conveniente hacerlo. En el ejemplos f) el resultado 9/7 es irreducible pero los otros se pueden simplificar:
e) 237/999=79/333
f) 142856/999999= 15873/111111= 429/3003= 1/7
h) 3/9=1/3
Si el período comienza después de la coma lógicamente hay que colocar ceros en el denominador. Por ejemplo
i) 0,003737373737...=37/9900
j) 0,003333333333...=3/900=1/300
Ahora lo que en me preguntas:
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Fracción generatriz de un número decimal periódico mixto
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En realidad lo único que hay que hacer es sumar, porque un número periódico mixto es la suma de la parte no periódica más una parte periódica.
Ejemplo:
k) 1,45037373737....= 1,45+0, 000373737=145/100+37/99000
Ahora lo único que hay que hacer es sumar, tomado como denominador común 99000 hacemos:
(145x990+37)/99000= (143550+37)/99000= 143587/99000
y ya esta, fin, The End, ese es el resultado.
La fórmula simplifica (o complica) la multiplicación por 990 al notar que si en lugar de multiplicar 145 por 990 multiplicamos 145 por mil al sumar nos queda: 145000+37=145037 que es justamente la parte no periódica unida a la parte periódica, tal cual esta en el principio de la fracción. Entonces se hace eso: multiplicar la parte no periódica por 1000 y sumar 37 y queda 145037. Pero ahora para llegar al resultado original hay restar 145x10, ya que en lugar de multiplicar por 990, como corresponde, hemos multiplicado por 1000. Entonces 145037-1450=143587 tal cual lo obtuvimos antes en la suma de fracciones. En realidad yo prefiero hacer las cuentas sumando fracciones porque es más conceptual. En los ejemplos que siguen lo voy a hacer de las dos maneras
l) 0,433333333333...=4/10+3/90= (4x9+3)/90=39/90=13/30
Usando el truquito (la fórmula) haríamos 43-4=39 y queda 39/90=13/30
Observa que la simplificación final es aparte.
m) 5,8456456456456....=5,8+0,0456456456...=
=58/10+456/9990=58x999+456)/9990=
=(57942+456)/9990=58398/9990
Usando la fórmula es 58456-58=58398 y también queda 58398/9990
Luego no hay que olvidarse de simplificar un poco la fracción
58398/9990=19466/3330=9733/1665