No se realizar este problema de fracciones de matemáticas

No sé que nivel de estudios llevas. Una cosa sería razonar y otra comprobar. Yo creo que aunque ponga razonar no es tanto razonar como comprobar lo que te piden.

La comprobación es calcular a mano la división. La calculadora no es de fiar porque a veces hacen falta más cifras, y aunque veamos una o dos que se repiten no podemos asegurar que se ha iniciado un ciclo nuevo porque no aparecen los restos y sabemos si se están repitiendo.

Y la teoría es bien sencilla:

1) Si te da resto cero sin sacar decimales es entera exacta. 21/3 = 7

2) Si te da resto cero tras sacar algún decimal es decimal exacta 4 / 5 = 0.8

3) Si se repite un resto de los que se dan después de haber sacado decimales se empieza a repetir el ciclo de cifras del cociente

3a) Si el ciclo de cifras repetidas empieza en el primer decimal es periódica pura

12 / 99 = 0.121212...

3b) si el primer decimal no entra en el ciclo es periódica mixta

7/45 = 0.15555...

Y no tenemos más que hacer las divisiones y comprobar:

3/5 = 0.6 decimal exacta

8/12 = 0.6666... periódica pura

1/50 = 0.02 decimal exacta

-15/90 = -0.1666.... periódica mixta

7/30 = 0.2333... periódica mixta

46/18 = 2.555... periódica pura

22/-1 = -22 entera exacta

21/420 = 0.05 decimal exacta

19/90 = 0.2111... periódica mixta

Y eso es todo lo que seguramente necesitas para resolver el problema

Pero te voy a dejar lo que sería un razonamiento de verdad que no voy a demostrar porque se escapa del nivel elemental.

Yo tras razonar he llegado a lo siguiente

Se descomponen numerador y denominador en factores primos y se simplifican los que se pueda de modo que numerador y denominador sean primos entres si.

1) Si el denominador es 1 es entera exacta

2) Si el denominador solo tiene factores primos 2 y 5 es decimal exacta

3) Si no tiene factores primos ni dos ni 5 es periódica pura

4) Si tiene factores primos 2 o 5 y algún otro es periódica mixta.

Ejemplos:

46/18 = 23/9

el 9 no tiene factores primos 2 ni 5 luego es periódica pura

15/90 = 1 / 6

El denominador es 2·3 tiene el factor 2 y otro que no es ni dos ni 5, luego es periódica mixta

21/420 = 1/20

El denominador es 2·2·5, solo tiene factores primos 2 o 5 y es decimal exacta