Geometría Euclidiana (plano)

El problema es el siguiente tengo un examen de geometría pero se tienen que estudiar desde un libro que la verdad no bien muy bien explicado y estoy viendo todo lo referente al plano. Un problema que la verdad me esta sacando de quicio es el siguiente.
Encuentra la ecuación del plano que pasa por (3,2,1),(4,-1,-2) y (0,5,-4)
En donde hay que hacer un sistema de ecuaciones del tipo Ax + By + Cz + D = 0 y de ahi encontrar uns soluciones para B,C y D en términos de A.
Pero la verdad no le entiendo en verdad agradecería muchísimo la ayuda.
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Respuesta
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Para escribir la ecuación del plano debes conocer cuanto valen A, B, C y D.
Decir que el punto (3,2,1) pertenece al plano es significa que con
x=3 y=2 z=3 se cumple la ecuacion.Esto significa que
A.3 + B . 2 + C .3 + D = 0
Analogamente decir que el punto (4,-1,-2) pertenece al plano es significa que
A.4 + B . (-1) + C .(-2) + D = 0
Fianalmente para el punto (0,5,-4) tenemos
A.0 + B.5- c 4 +D=0
Es decie que tenemos tres ecuaciones
3 A +2 B + 3 C + D =0
4 A - B - 2 C + D =0
0 A +5 B - 4 C + D =0
En realidad de A B C y D solo hace falta saber en que proporción están.
Es decir podemos darle a uno el valor que queramos (distinto de cero) y luego elegir el resto para que la ecuación del plano sea la correcta.
Por ejemplo si le damos a A el valor 9 y resolvemos el sistema de ecuaciones resulta
B=5,5 c=-1,5 D=-33,5 (la resolvi con Excel)
Quiere decir que la ecuación del plano es
9 x + 5,5 y - 1,5 z - 33,5 = 0
Pero también la podemos poner como
18 x + 11 y - 3 z - 67 =0
O si se nos ocurre
180 x + 110 y - 30 z - 670 =0
Como ves los valores individuales de los coeficientes no importan sino su relación.
Ahora si elegimos un valor para uno entonces solo hay un valor posible para cada uno de los demás.
Disculpa la demora en contestar. Eudemo

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