Distancia de un plano al origen
la distancia de un plano al origen es igual a 3 si el plano pasa por la intersección de los planos x+y+z-11=0 y x+y+z-11=0 y x-y+5z-10=0, halle su ecuación.
1 Respuesta
Has puesto un plano repetido:
"...los planos x+y+z-11=0 y x+y+z-11=0 y x-y+5z-10=0"
El primero y segundo son idénticos.
Mándame el enunciado correcto.
Vale, entonces no es como con tres planos. Con tres planos distintos el plano original pasaba por un punto y girándolo adecuadamente sobre ese punto había que conseguir que la distancia al origen fuera 3. Ahora el plano girará, pero sobre una recta.
Los tres planos confluyen en una recta y su vector director es perpendicular a esa recta. La familia de vectores perpendiculares a esa recta se puede obtener como combinación lineal de los vectores directores de los otros dos planos.
Los vectores directores de los planos son los coeficientes de x, y, z de la ecuación de los planos
(1,1,1) y (1,-1,5)
luego el vector director del plano será
v=a(1,1,1)+b(1,-1,5)
y la ecuación del plano será
(a+b)x +(a-b)y + (a+5b)z + D = 0
La distancia al punto (0,0,0) será
$$\begin{align}&\frac{|0+0+0+D|}{\sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2+(a+5b)^2}}=3\\ &\\ &\frac{|D|}{\sqrt{a^2+b^2+2ab+a^2+b^2-2ab+a^2+25b^2+10ab}}=3\\ &\\ &\frac{|D|}{\sqrt{3a^2+27b^2+10ab}}=3\\ &\\ &\\ &D^2 = 27a^2+243b^2 +90ab\end{align}$$
En realidad no son dos incógnitas, podemos tomar como vector director del plano otro que sea proporcional y en el cual a=1
D^2 = 27 + 243b^2 + 90b
Y nos falta una ecuación para poder calcular D y b. Dicha ecuación la obtendremos haciendo que el plano pase por un punto cualquiera de la intersección de los otros dos
x+y+z-11=0
x-y+5z-10=0
sumándolas
2x+6z =21
tomamos z=0
2x=21
x = 21/2
21/2 + y + 0 -11 = 0
y = 11-21/2 = 1/2
Luego el punto (21/2, 1/2, 0) pertenece a los dos y debe pertenecer al que estamos calculando. Recuerda que hemos hecho a=1
(1+b)x + (1-b)y + (1+5b)z + D = 0
(1+b)(21/2) +(1-b)(1/2) + (1+5b)·0 + D = 0
21+21b +1 - b = -2D
20b + 22 = -2D
10b + 11 = -D
D^2 = 100b^2 + 220b + 121
Recuerda la otra ecuación que calculamos hace un rato
D^2 = 27 + 243b^2 + 90b
Luego las igualamos
100b^2 + 220b + 121 = 27 + 243b^2 + 90b
143b^2 - 130b - 94 = 0
b= [130 +- sqrt(130^2 + 4·143·94)] / (2·143) =
[130 +- sqrt(70668)] / 286 =
(130 +- 265.834535) / 286 =
1.384036836 y -0.4749459266
De una ecuación de arriba deducimos
D = 11 - 10b = -2.84036836 y 15.749459266
Los planos son dos, uno por arriba y otro por abajo o uno por la izquierda y otro por la derecha, ambos están a la misma distancia del punto (0,0,0)
plano 1:
2.384036836x - 0.384036836y + 7.92018414z - 2.84036836 = 0
plano 2:
0.5250540734x +1.474945927y - 1.374729633z + 15.749459266 = 0
Es un acto de fe creer que está bien.
Y hago comprobaciones y no está bien.
Atajare algo usando teoría un poco superior.
El haz de planos que tienen una recta en común es la combinación lineal de dos de ellos
a(x+y+z-11) + b(x-y+5z-10) = 0
Haremos q
Perdona se mandó sola la respuesta, continuaré resolviéndola bien, aunque ahora tengo poco tiempo y puede ser que tarde mucho.
Decía que haremos que a=1
(1+b)x + (1-b)y +(1+5b)z -11-10b = 0
Y la distancia al punto (0,0,0) debe ser 3, luego aprovechando cálculos hechos antes
|11+10b| sqrt(3+27b^2+10b) = 3
|11+10b| = 3sqrt(3+27b^2+10b)
Elevando al cuadrado
121 + 220b + 100b^2 = 9(3+27b^2+10b)
121 + 220b + 100b^2 = 27 + 243b^2 + 90b
143b^2 - 130b - 94 = 0
Es la misma ecuación, sería la misma respuesta
b = [130 +- 6sqrt(1963)] / 286 =
[65 +- 3sqrt(1963)} / 143 =
1.384036836 y -0.4749459266
y los planos son:
Plano 1:
2.384036836x - 0.384036836 + 7.92018414z - 24.84036836 =0
Plano 2:
0.5250540734x +1.474945927y - 1.374729633z - 6.250540734 = 0
Y ahora ya están comprobados y bien. Antes me equivoqué donde dile que se deducía
D = 11 - 10b, en realidad era
D = -11 -10b.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si tienes alguna duda, consúltame. Y si ya lo entendiste no olvides puntuar.
muchísimas gracias, pero sabes que en el libro sale la respuesta al final y es es 2x-3y+6z-21=0 o también 92x+327y-96z-1059=0 , tengo que dejarlo expresado como numero entero.
Es que si las respuestas hubieran sido enteras me habrían salido cuando menos racionales para multiplicarlas por algo y que fuesen enteras.
Esas respuestas del libro no son buenas.
Como verás en el desarrollo de la primera parte el punto
(21/2, 1/2, 0) pertenece al los dos planos y por tanto pertenece al plano.
x+y+z-11=0
x-y+5z-10=0
2.384036836x - 0.384036836 + 7.92018414z - 24.84036836 =0
0.5250540734x +1.474945927y - 1.374729633z - 6.250540734 = 0
21/2 +1/2 -11 = 22/2 -11 = 0
21/2 - 1/2 -10 = 20/2-10 = 0
2.3840...(21/2) - 0.3840.../2 - 24.8403...= 25.03238678 - 0.192018418 - 24.84036836 = 0
0.5250...(21/2) + 1.4749..-(1/2) -6.25...= 5.513067771 + 0.7374729635 - 6.250540734 = 0
Pero la respuesta del libro
2(21/2) - 3(1/2) - 21 = 42/2 -3/2 -21 = 39/2 - 21 = (39-42) /2 = -3/2 distinto de cero
92(21/2) + 327(1/2) -1059 = 996 + 327/2 - 1059 = (1992+327-2118)/2 = 201/2 no cero
Asi que una de dos cosas. O la respuesta del libro está mal o está mal el enunciado que me has dado. Y yo pienso que puede ser lo segundo, ¿tú me das dos planos y puede que en el libro sean tres? Y si en el libro dice solamente dos planos y sos esos dos que me has dado entonces la respuesta del libro está mal.
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