Duda sobre el cálculo matemático de dimensiones mínimas de una hoja de papel

Llamemos a por a la anchura de la hoja e y a la largura.
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| | y
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x
Debemos tener en cuenta que los márgenes superior e inferior tienen 2 cm de ancho, así como el izquierdo y derecho 1 cm-> porlo que a x le quitamos 2 cm (margenes izquierdo +derecho) y a y 4 cm (margen superior e inferior).
Por lo que se tiene que el texto cumple:
(x-2)(y-4)= 18
Nos piden que hallemos las dimensiones mínimas de la hoja--> es lo mismo que decir que el área de la hoja es la mínima.
Por lo que la función a optimizar es:
A = x*y
con (x-2)*(y-4)=18.
Hallemos los valores optimos.Para ello, despejamos, por ejemplo, x y sustitumos en A.
(x-2)(y-4)=18--> x-2 = 18/(y-4);
x = (18/(y-4))+2;
Sustituyendo en A:
A = x*y;
A = ((18/(y-4))+2)*y;
A = (18y/(y-4))+2y;
Derivamos respecto de y:
A' = -72/(y-4)^2+2
A' = 0 --->
2 = 72/(y-4)^2;
2(y-4)^2 = 72;
(y-4)^2 = 36;
y^2-8y+16 = 36;
y^2-8y-20 = 0;
Resolviendo la ecuacion cuadrática, se obtienen los valores:
y = 10, y = -2;
Como estamos hablando de longitudes, (x e y son anchura y largura respectivamente), el valor y = -2 no nos sirve de nada, por lo que el valor que nos interesa es y = 10.
Si quieres comprobar que exactamente es ese el valor de y del problema, no tienes más que calcular la 2º derivada y ver que en y = 10 la derivada es positiva (A'' = 144/(y-4)^3;A''(10)= 144/(6^3) > 0);
Por lo tanto, y = 10.
Una vez conocido y, hallar x es fácil. Vamos a la condición de los márgenes, y sustituimos el valor de y, por lo que:
x = (18/(y-4))+2
x = (18/(10-4))+2
x = 3+2 = 5.
Luego , las dimensiones óptimas de la hoja son x = 5 e y = 10. con A = 50 cm^2.
Saludos,
si tienes algún problema o duda, dímelo.