¿Se conocieron Beethoven y Mozart?

Si, se conocieron. Beethoven, joven, tomó muy pocas clases de Mozart en Viena. Recién cuando Mozart le pidió que improvisara sobre un tema, aceptó la genialidad de Ludwig.

En primavera de 1787, un Beethoven de 16 años viaja a Viena a estudiar, impulsado por el príncipe elector. Allí entre otros parece ser que conoce a Gluck. En cuanto a Mozart, no esta absolutamente comprobado que se encontrasen. En todo caso Beethoven no estudió con el, pero parece ser que, cediendo a sus deseos, si que lo oyó al piano.
Otto Jahn, testimonio, afirma que así fue y que Mozart, que ya era un 'viejo' de 31 años, al oírle tocar, lo 'aprobó con frialdad', o indiferencia, aunque a continuación añadió para algunos amigos 'Escuchadle, el mundo hablará de él', lo que parece un elogio rutinario o bien una profecía.
Y ciertamente no se sabe mucho más de este caso, aunque no pasa nada, seguro que están los dos haciendo música juntos en el cielo...

Ludwig van Beethoven nació en 1770, por lo que era 14 años más joven que Wolfgang Amadeus Mozart. A los tiempos de “niño prodigio” corresponde el suceso de que la joven esposa de un servidor de cámara de Coblenza, la Señora Van Beethoven, asistió a un concierto de los pequeños Wolfgang y Nannerl. Ella se quedó tan impresionada que soñó con ver a su hijo, el que tuviera algún día, crecer también como un niño prodigio. Su sueño se haría realidad. Su hijo Ludwig van Beethoven fue uno de los compositores más grandes de su tiempo.
Años más tarde, Mozart, tras regresar de Praga, atravesó unos meses muy difíciles en los que el dinero volvió a escasear. En el mismo año (1787) Ludwig van Beethoven llegó a Viena. Tenía 16 años y quería dar clases con Mozart o con Haydn. Nadie sabe lo que hubiera pasado si la madre de Beethoven no hubiera enfermado repentinamente y él no hubiera tenido que volver a Bonn después de tan solo dos semanas de estancia en Viena. Mozart, que en esos momentos se encontraba sumido en la composición de “Don Giovanni” y que estaba muy preocupado por su padre que se encontraba enfermo de muerte, ni recibió a Beethoven, ni le dio clases. Y cuando Beethoven volvió a Viena años más tarde, Mozart ya había muerto.

http://www.mozart.com/es/timeline/vida/mozart-y-beethoven/ 

Creo que si se conocieron por que eran celebridades de la misma época.

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