Encuentra un tercer punto de la forma (0, y, 0) tal que forme un triángulo isósceles en el espacio con los puntos (1, -3, 7)

Como estas:

De acuerdo a los datos se tiene el siguiente gráfico:

Luego por distancia:

El tercer vértice tiene la forma:

Tenemos 3 puntos, con 3 segmentos, de los cuales 2 de los segmentos deben ser iguales... veamos...

$$\begin{align}&d((1,-3,7),(5,7,-5)) = \sqrt{(1-5)^2+(-3-7)^2+(7-(-5))^2}=\sqrt{16+100+144}=\sqrt{260}..........(A)\\&d((1,-3,7),(0,y,0))=\sqrt{(1-0)^2+(-3-y)^2+(7-0)^2}=\sqrt{1+9+6y+y^2+49}=\sqrt{y^2+6y+59}....(B)\\&d((5,7,-5),(0,y,0))=\sqrt{(5-0)^2+(7-y)^2+(-5-0)^2}=\sqrt{25+59-14y+y^2+25}=\sqrt{y^2-14y+109}...(C)\\&\text{Dependiendo los segmentos que sean iguales, tendremos distintas posibilidades}\\&Si\ (A)=(B)\\&\sqrt{260}=\sqrt{y^2+6y+59}\\&260=y^2+6y+59\\&0=y^2+6y-201 \\&y_1=11.491 \to P_1= (0,11.491,0)\\&\land y_2=-17.491 \to P_2=(0, -17.491,0)\\&Si\ (A)=(C)\\&\sqrt{260}=\sqrt{y^2-14y+109}\\&260=y^2-14y+109\\&0 = y^2-14y-151\\&y_1 = 21.142 \to P_3=(0,21.142,0)\\&\land y_2 = -7,142 \to P_4 = (0,-7.142,0)\\&Si\ (B) = (C)\\&\sqrt{y^2+6y+59} = \sqrt{y^2-14y+109}\\&y^2+6y+59 = y^2-14y+109\\&20y+59 = 50\\&y=2.5 \to P_5=(0, 2.5, 0)\end{align}$$

Salu2