Evalúa la suma de Riemann para la función f(x)=10-x^2; en el intervalo [1⁄4,3].

Hubiese estado mejor que directamente hubieses escrito la duda, pero veamos...

$$\begin{align}&[1/4; 3] \to \Delta x = \frac{3-1/4}{n}=\frac{11}{4n}\\&x_i=\frac{1}{4}+\frac{11}{4n}i\\&\text{La enésima suma de Riemman, es:}\\&\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x=\sum_{i=1}^n (10- (\frac{1}{4}+\frac{11}{4n}i)^2) \cdot \frac{11}{4n}=\\&\sum_{i=1}^n (10- (\frac{1}{16}+\frac{11i}{8}+\frac{121 i^2}{16n^2})) \cdot \frac{11}{4n}=\\&\sum_{i=1}^n (\frac{159}{16}-\frac{11i}{8}-\frac{121 i^2}{16n^2}) \cdot \frac{11}{4n}=\\&\sum_{i=1}^n \frac{1749}{64n}-\frac{121i}{32n}-\frac{1331 i^2}{64n^3}=\\&\frac{1749}{64n} \sum_{i=1}^n 1 - \frac{121}{32n}\sum_{i=1}^n i - \frac{1331 }{64n^3} \sum_{i=1}^n i^2=\\&\frac{1749}{64n} \cdot n - \frac{121}{32n} \cdot \frac{n(n+1)}{2}  - \frac{1331 }{64n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\\&\frac{1749}{64}  - \frac{121(n+1)}{64}   - \frac{1331 (n+1)(2n+1) }{384n^2}\end{align}$$

Luego habría que calcular el límite aunque revisa las cuentas porque las hice rápido y no tuve tiempo de verificar, pero me parece que cometí un error...

Salu2

es que yo lo hice diferente... pero me atore...

Lo que vos hiciste está bien y es equivalente a lo que hice yo (aunque de la forma que lo hiciste vos hay menos posibilidad de error en las cuentas), así que voy a "terminarlo" desde tu último paso:

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty}\frac{11}{4n} \bigg(\frac{159n}{16}-\frac{11n}{16}-\frac{11}{16}-\frac{121n^2}{48n}-\frac{121n}{32n}-\frac{121n}{96n} \bigg) = (distribuyo)\\&=\lim_{n \to \infty}\bigg(\frac{1749n}{64n}-\frac{121n}{64n}-\frac{121}{64n}-\frac{1331n^2}{192n^2}-\frac{1331n}{128n^2}-\frac{1331n}{384n^2} \bigg) = (simplifico \ 'n')\\&=\lim_{n \to \infty}\bigg(\frac{1749}{64}-\frac{121}{64}-\frac{121}{64n}-\frac{1331}{192}-\frac{1331}{128n}-\frac{1331}{384n} \bigg) = (evaluo \ cuando \ n \to \infty)\\&=\bigg(\frac{1749}{64}-\frac{121}{64}-0-\frac{1331}{192}-0-0 \bigg) = \frac{3553}{192}\end{align}$$

Que coincide con el cálculo de la integral si lo haces de la manera 'tradicional'

Salu2