Relación de transformación para pasar de coordenadas cilíndricas a esféricas

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Hola ana pola!

Las cilíndricas son: 

$$\begin{align}&(r, \theta,z)\\&\\&Esféricas:\\&(\rho, \theta, \phi)\\&\\&observando\ el \ gráfico:\\&\rho=\sqrt{r^2+z^2}\\&\\&\theta=\theta\\&\\&\phi=arctan \frac r z\end{align}$$

Saludos

;)

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Como se construiría la matriz jacobiana que las relaciona

;) Tenemos la transformación

$$\begin{align}&f(r, \theta,z)=(\rho,\theta,z)=(\sqrt{r^2+z^2} , \ \theta,\ arctan \frac r z)\end{align}$$

La primera fila del Jacobiano son las derivadas parciales de rho, respecto r, theta y z, respectivamente.

La segunda son las derivadas parciales de theta, respecto r, theta y z.

La tercera fila son las derivadas de phi, respecto de r, de theta y z, respectivamente.

Así en la primera columna tenemos todas las derivadas parciales respecto r.

En la segunda columna todas las derivadas parciales respecto theta

En la tercera columna todas las derivadas parciales respecto z.

$$\begin{align}&f_r=\frac {\partial f}{ \partial r}  \\&\\&Jacobiano=\\&f1_r \ \ \ f1_{\theta} \ \ \ f1_z\\&\\&f2_r \ \ \ f2_{\theta} \ \ \ f2_z\\&\\&f3_r \ \ \ f3_{\theta} \ \ \ f3_z\\&\\&f1= \rho=\sqrt{r^2+z^2}\\&f2= \theta=\theta\\&f_3=\phi=arctan \frac r z\\&\\&f1_r=\frac{r}{\sqrt {r^2+z^2}}  \ \ \ \ \ \ \ f1_{\theta}=0 \ \ \ \ \ \ \ f1_{z}=\frac z { \sqrt{r^2+z^2}}\\&\\&\\&f2_r=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f2_{\theta}=1\ \ \ \ \ \ \ \  f2_z=0\\&\\&f3_r=\frac{\frac 1 z}{1+(\frac r z)^2}\ \ \ \ \ \ f3_{\theta}=0 \ \ \ \ \ \ \ \ f3_z=\frac{- \frac r {z^2}}{1+( \frac r z)^2} \end{align}$$

Saludos y recuerda votar

;)

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$$\begin{align}&f(r, \theta,z)=(\rho, \theta, \phi)\end{align}$$

error de escritura

;)

¡Muchas Gracias! 

Entonces si queremos la matriz jacobiana que nos lleva de esféricas a cilíndricas sería al contrario las derivadas de las coordenadas esféricas respecto las cilíndricas?