Teorema de Bolzano y la determinación de los ceros de una función
a) A partir del Teorema de Bolzano, como se pueden determinar los ceros de una función.
b) Sea f una función continua en el intervalo cerrado [0,1]. Supongamos que 0 ≤ f (x) ≤ 1. Demuestra que existe al menos un punto c en [0,1] para el cual f (c) = c. A tal punto se le llama punto fijo de f. Indicación: Aplica el Teorema de Bolzano a la función g (x) = f (x)-x.
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Respuesta de Lucas m
1
;)
1)
a) Buscando intervalos cada vez más pequeños donde la función cambie de signo.
b)
g(x)=f(x)-x es continua por ser una resta de funciones continuas.
g(0)=f(0)-0=f(0)
$$\begin{align}&hipótesis\\&0 \leq f(x)\leq 1\\&\\&luego\\&0 \leq f(0)\leq 1\ ==>0 \leq g(0)\leq 1\\&\\&g(1)=f(1)-1\\&0 \leq f(1)\leq 1\ \ (hipótesis)\ \ ==> restando\ 1\\&0-1 \leq f(1)-1\leq1-1\\&-1\leq g(1) \leq0\\&\\&Luego \ en \ [0,1] \ \ g(x) \ cambia\ de \ signo\\&aplicando\ Bolzano \\&\exists \ c \ / \ g(c)=0 \ ==> f(c)-c=0\\&==>\\&f(c)=c\end{align}$$;)
Saludos
;)
;)
