Como soluciono los siguientes ejercicios de integrales impropias?

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¡Hola Lirio!

La primera es un función solo discontinua en x=1, luego no hay discontinuidades en el intervalo de integración, la integral es impropia solo porque el extremo derecho es infinito.

$$\begin{align}&\int_2^{\infty} \frac{1}{(x-1)^2}dx=\\&\\&\lim_{K\to \infty}\int_2^K \frac{dx}{(x-1)^2}= \lim_{K\to \infty}-\frac{1}{x-1}\bigg|_2^{K}=\\&\\&\lim_{K\to \infty}\left(-\frac{1}{K-1}+\frac{1}{2-1}\right)=0+1=1\end{align}$$

La segunda no tiene discontinuidad en ningún punto, luego es impropia solo por tener los dos extremos en los infinitos.

$$\begin{align}&\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}= \lim_{K\to \infty}\int_{-K}^{K} \frac{dx}{1+x^2}=\\&\\&\lim _{K\to \infty}arctg\,x\bigg|_{-K}^K= \lim_{K\to \infty}(arctg\,K - arctg(-K))=\\&\\&\frac \pi2-\frac{-\pi}{2}= \pi\\&\\&\end{align}$$

Hay que tener en cuenta que arctg está definido en (-pi/2, pi/2)  no tengamos la tentación de expresar el ángulo de 270º como 3pi/2, hay que expresarlo como -pi/2.

Y eso es todo, sa lu dos.

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