Probar que si x e y son coprimos, entonces ( x +2z, 2x +z) = 1 o 3
Tengo un conflicto con este tema, ¿cómo puedo resolverlo si usar inducción? ¿Además si son coprimos no puede ser igual a 3 entonces como desarrollo la demostración...?
1 Respuesta
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¡Hola Vale!
Imagino que quieres decir que son coprimos x y z, porque "y" no pinta nada.
Por la propiedad
(a, b) = (a, b-a)
(x+2z, 2x+z) = (x+2z, x-z) =
que también sirve la propiedad
(a, b) = (a-b, b)
luego
= (3z, x-z)
Como x y z son coprimos entonces x-z no puede tener ningún factor primo de z ya que si tuviera uno, llamémoslo p, tendríamos
(x-z) / p = n con n número entero
x/p - z/p = n
x/p - m = n con m entero
x/p = m+n
luego p factor primo de x.
Luego p es factor primo de x y z, eso es absurdo ya que eran coprimos.
Luego tenemos que el máximo común divisor que nos dieron es igual que este
(3z, x-z)
Y que ningún factor primo de x-z lo es de z, luego el único factor primo común que pueden tener si acaso es 3. Por lo tanto, el máximo común divisor será 1 ó 3.
Y eso es todo, saludos.
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