¿Para que valores de α son linealmente dependientes (α, 1, 0) y (1,α,0) en R3?

Como te decía un conjunto de vectores es linealmente dependiente si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás.

Como solo hay dos vectores, serán linealmente dependientes si son proporcionales:

$$\begin{align}&(\alpha,1,0)=k(1, \alpha,0)\\&\\&\Longrightarrow\\&Igualando \ componentes:\\&\alpha=k\\&1=k \alpha\\&0=0\\&\\&Sustituyendo ,\ la primera \ en \ la \ segunda:\\&1=\alpha^2\\&\\&\alpha= \pm1\end{align}$$

Saludos

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;)

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¡Hola Esteban!

Dos vectores no nulos son dependientes si son proporcionales, si no lo son son independientes.

Veamos cuando son dependientes. Lo serán si existe una constante k tal que

(α, 1, 0) = k(1, α, 0)

(α, 1, 0) = (k, kα, 0)

debe darse la igualdad de las tres componentes

α = k

1= kα

Sustituyendo en la segunda el valor de k tenemos

1 = α·α = α^2

α = -1 y 1

Luego son dependientes cuando α toma uno de esos dos valores 1 o -1

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