Ejercicios de integrales definidas calculo integral

El Segundo Teorema fundamental dice que:

$$\begin{align}&\int_a^b f(x) dx=\Bigg [F(x) \Bigg]_a^b=F(b)-F(a)\\&\\&Donde \ \ F'(x)=f(x)\\&\\&\int_{- \pi}^{\pi} \Big(sen(x)+\cos(x) \Big )^2 \ dx=\\&\\&\int_{- \pi}^{\pi} \Big(sen^2(x)+\cos^2(x)+2sen(x)\cos(x) \Big) \ dx=\\&\\&\int_{- \pi}^{\pi} \Big(1+ sen(2x) \Big)dx= \Bigg[x-\frac{\cos(2x)}{2} \Bigg]_{- \pi}^{\pi}=\\&\\&\Big( \pi- \frac{\cos (2 \pi)}{2}\Big)- \Big( - \pi- \frac{\cos (-2 \pi)}{2} \Big)=\\&\\&\pi-\frac{1}{2}+ \pi + \frac{1}{2} = 2 \ \pi\\&\\&\end{align}$$

Saludos

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¡Hola Oscar!

Esto dicho de otra forma es calcular la integral definida por el método habitual de calcular la primitiva y luego evaluar en el limite superior y restar la evaluación en el límite inferior, eso es lo que dice el segundo teorema.

$$\begin{align}&Si\; F'(x)=f(x)\implies \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\\&\\&\\&\int_{-\pi}^\pi(senx+cosx)^2dx=\\&\\&\int_{-\pi}^\pi(sen^2x+\cos^2x+2senx\;cosx)dx=\\&\\&\int_{-\pi}^\pi(1+ sen\,2x)dx=\\&\\&\left[x-\frac{cos2x}{2}  \right]_{-\pi}^\pi=\\&\\&\pi -\frac{\cos(-2\pi)}{2} -(-\pi)+\frac{\cos(2\pi)}{2}=\\&\\&\pi -\frac{1}{2} -(-\pi)+\frac{1}{2}=2\pi\end{align}$$