Cual es el procedimiento para esta ecuación
Y´´´- y´´+ 9y´- 9y = 0 y = c1 sen 3x + c2 cos 3x + 4e^x
Como seria su procedimiento para realizar esta ecuación
2 Respuestas
Es una ecuación diferencial lineal homogénea de Tercer orden con coeficientes constantes y sin condiciones iniciales.
La ecuación característica es:
$$\begin{align}&m^3-m^2+9m-9=0\\&\\&Ruffini:\\&\ \ \ 1 \ \ \ \ \ -1 \ \ \ \ \ \ 9 \ \ \ \ \ -9 \\&\\&1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 9\\&\ ----------\\&\\&\ \ \ 1 \ \ \ \ \ +0 \ \ \ \ \ \ 9 \ \ \ \ \ +0\\&\\&m_1=1\\&m^2+9=0 \Rightarrow m=\sqrt{-9}=\sqrt{9i^2}= \pm 3i\\&Dos \ souciones \ complejas \ conugadas: \ \alpha \pm \ \beta \ i\\&\alpha=0\\&\beta=3\\&\\&Solución:\\&y=c_1 e^{m_1x}+e^{\alpha x}(c_2 \cos \beta x+c_3 \sin \ \beta x)\\&\\&y=c_1e^x+c_2cos3x+c_3sin3x\end{align}$$La constante 4 de la solución que me das (4e^x) no se puede determinar sin las condiciones iniciales. Debe de ser un error
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¡Hola Xavier!
Es una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes. Calculemos las raíces de la ecuación característica
k^3 - k^2 + 9k - 9 = 0
Por suerte se ve que k=1 es una solución, ahora dividimos el polinomio entre k-1, espero que no falle el editor de bloques
1 -1 9 -9 1 1 0 9 ------------- 1 0 9 |0
Entonces tendremos
k^3 - k^2 + 9k - 9 = (k-1)(k^2+9)=
Y las raíces del segundo factor son complejas
(k-1)(k+3i)(k-3i)
Las raíces son 1, 3i, -3i
Las raíces reales simples (r) aportan un sumando
C·e^{rx}
A la solución general, donde C es una constante.
Las raíces complejas conjugadas (a±bi) aportan está expresión
e^(Ax)·(A·cos(bx)+B·sen(bx)
Donde A y B son dos constantes.
Entonces la solución de esta ecuación
$$\begin{align}&y = C_1·e^x + e^{0x}(C_2\,\cos 3x+C_3\,sen \,3x)\\&\\&y = C_1\,e^x + C_2\,\cos 3x+C_3\,sen \,3x\end{align}$$
Tenía razones para temer por lo del bloque de texto, qué asco, cada día dejan peor la página. Bueno, imagino que sabes como funciona la regla de Ruffini y podrás poner las columnas bien alineadas.
El profe nos puso esta ecuacion diferencial Y´´´- y´´+ 9y´- 9y = 0
con esta condicion y = c1 sen 3x + c2 cos 3x + 4e^x
En donde derivamos la condición tres veces para sustituir en la ecuación original para llegar al resultado
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¡Hola Xavier!
Si puntuas un ejercicio que sea con excelente, si no se acaban las respuestas. Debías haber explicado más el enunciado para adivinar lo que quieres decir, aun con las aclaraciones que das ahora es difícil entenderlo.
Para dar una respuesta única a la ecuación diferencial se necesitan tres condiciones y lo único que hacen es decirnos que la que yo llamé C1 y ellos C3 tiene valor 4. Faltan dos condiciones más, con lo que nos dan y lo que dices que hay que hacer no se llegará a nada, vamos a probarlo:
y=c1 sen 3x + c2 cos 3x + 4e^x
y' = 3c1 cos 3x - 3c2 sen 3x + 4e^x
y'' = -9c1 sen 3x - 9c2 cos 3x + 4e^x
y''' = -27c1 cos 3x +27c2 sen 3x + 4e^x
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y''' - y'' + 9y' - 9y = 0
-27c1 cos 3x +27c2 sen 3x + 4e^x + 9c1 sen 3x + 9c2 cos 3x - 4e^x +
27c1 cos 3x - 27c2 sen 3x + 36e^x- 9c1 sen 3x - 9c2 cos 3x -36e^x=0
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cos 3x·(-27c1+9c2+27c1-9c2) + sen 3x·(27c2+9c1-27c2-9c1) + e^x(4-4+36-36)=0
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0=0
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Lo que te decía, nada nuevo puede deducirse. Yo no sé que quieren que hagamos. Revisa el enunciado, escríbelo entero, dinos si habéis hecho alguno similar qué es lo que hay que hacer, etc.
Saludos.
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Espera, a lo mejor quieres decir que a partir de
y = c1 sen 3x + c2 cos 3x + 4e^x obtengamos la ecuación diferencial de esa familia de curvas
y' = 3c1 cos 3x - 3c2 sen 3x + 4e^x
y'' = -9c1 sen 3x - 9c2 cos 3x + 4e^x
de la relación entre la función y la derivada segunda se deduce
y'' = 9(y- 4e^x)+4e^x
y'' = 9y - 8e^x
y'' - 9y = -8e^x
esa es la ecuación diferencial cuya solución es
y = c1 sen 3x + c2 cos 3x + 4e^x
A lo mejor era esto lo que te pedían, cuando hay dos constantes la ecuación no es de orden 3 sino de orden 2
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