Problema de ecuaciones diferenciales diseñar la ecuación y resolverla paso a paso

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¡Hola Albert!

Si en el minuto t la concentración kg/L es C(t) entonces hay

1000C(t) kg de sal

En el minuto t+dt salen 6·dt litros y quedan estos kg de sal

1000C(t) - 6C(t)·dt

Pero entran 6·dt litros con concentración 1kg/L  con lo cual los kg de sal serán

1000C(t) - 6C(t)·dt + 6dt = 1000C(t) + 6[1-C(t)]dt

Y la concentración será

(1000C(t) + 6[1-C(t)]dt) / 1000 = C(t) + 3[1-C(t)]dt/500

por lo cual la derivada de la concentración será

$$\begin{align}&\frac{dC(t)}{dt}=\frac{C(t)+\frac{3[1-C(t)]}{500}dt-C(t)}{dt}=\frac{3[1-C(t)]}{500}\\&\\&\frac{dC(t)}{1-C(t)}=\frac {3}{500}dt\\&\\&\text{integramos los dos lados y ponemos una }\\&\text{constante de integración apropiada}\\&\\&-ln[1-C(t)]=\frac {3t}{500}-ln\,k\\&\\&ln[1-C(t)]=-\frac {3t}{500}+ln\,k\\&\\&1-C(t)=e^{-3t/{500}}·e^{ln\,k}=ke^{-3t/500}\\&\\&C(t)= 1-ke^{-3t/500}\\&\\&\text{Para que en t=0 la concentración sea 0}\\&\\&0=1-k\implies k=1\\&\\&C(t) = 1-e^{-3t/500}\\&\\&\text{para que sea }C(t)=\frac 12\\&\\&\frac 12=1-e^{-3t/500}\\&\\&e^{-3t/500}=\frac 12\\&\\&-\frac {3t}{500}=ln \frac 12= -ln(2)\\&\\&t=\frac{500\, ln\,2}{3}\approx115.52453\, min\end{align}$$

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En este enlace tienes una buena explicación:

Salmuera

Como la velocidad de entrada y salida son iguales, el volumen es constante

V(t)=1000 l

Inicialmente solo hay agua, luego la concentración inicial de salmuera es 0.

Queremos calcular como varía la cantidad de salmuera con respecto el tiempo:

Q(t) en kg

dQ/dt=R_1-R_2

R_1 es la velocidad de entrada de cantidad de salmuera

R_1=6 l/min·1kg/l=6 kg/min

R_2 es la velocidad de salida de almuera

R_2= 6 l/min ·C(t)

C(t) es la concentración en el instante t

C(t)=Q(t)/V(t)=Q(t)/1000   (recuerda que V(t) es constante)

La Ecuación diferencial:

$$\begin{align}&\frac{dQ}{dt}=R_1-R_2\\&\\&\frac{dQ}{dt}=6-6 \frac{Q(t)}{1000}\\&\\&\frac{dQ}{dt}+6 \frac{Q(t)}{1000}=6\\&\\&ED \ lineal \ tipo:\\&y'+p(x)y=f(x)\\&\\&Resuelvo \ por \ Factor \ Integrante:\\&\\&F=e^{\int p(x)dx)}=e^{\int \frac{6}{1000}dt}=e^{\frac{6}{1000}t}\\&\\&\\&\\&Multiplicando  \ la \ ED por \ el F:\\&\frac{dQ}{dt}+6 \frac{Q(t)}{1000}=6\\&\\&e^{\frac{6}{1000}t}·\frac{dQ}{dt}+e^{\frac{6}{1000}t}·  6 \frac{Q(t)}{1000}=6e^{\frac{6}{1000}t}\\&\\&\frac{d}{dt} \Big(e^{\frac{6}{1000}t}·  Q(t) \Big)=6e^{\frac{6}{1000}t}\\&\\&Integrando\\&\\&e^{\frac{6}{1000}t}·  Q(t)=\int 6e^{\frac{6}{1000}t}dt\\&\\&e^{\frac{6}{1000}t}·  Q(t)=6 \frac{e^{\frac{6t}{1000}}}{\frac{6}{1000}}=1000·e^{\frac{6}{1000}t}+C\\&\\&Luego \\&\\&Q(t)=1000+Ce^{\frac{-6}{1000}t}\\&\\&Como \ Q(0)=0 \Rightarrow C=-1000\\&\\&Q(t)=1000-1000e^{\frac{-6}{1000}t}\\&\\&La \ concentración \ en \ el \ instante \ t:\\&\\&\frac{Q(t)}{V(t)}=\frac{1000-1000e^{\frac{-6}{1000}t}}{1000}=1-e^\frac{-6t}{1000}\\&\\&Queremos \ encontrar \ t, \ tal \ que \ la\ concentración \ sea \ 1/2\\&\\&1-e^\frac{-6t}{1000}=\frac{1}{2}\\&\\&\frac{1}{2}=e^\frac{-6t}{1000}\\&\\&ln(0.5)=\frac{-6t}{1000} \Longrightarrow t=\frac{-1000·ln0.5}{6}=115.5245 \ min=4h48min48s\\&\end{align}$$