Demostrar que n!=n(n-1)(n-2)..(3)(2)(1) usando definición de recursividad

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¡Hola José!

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Lo que te piden demostrar es precisamente la definición de factorial. Tal vez deberías haber dicho que no te han dado esa definición de factorial sino una definición recursiva que sería esta

1! = 1

(n+1)! = (n+1)n!

Y que a traves de ella debes demostrar la que te dan.

Lo haremos por inducción

1! = 1

Se cumple es el producto con un solo factor.

Supongamos que se cumple para n

n! = n(n-1)(n-2)···2·1

entonces para n+1 es

(n+1)! = (n+1)n! = (n+1)n(n-1)(n-2)···2·1

Luego se cumple para n+1.

Por lo cual queda demostrado por inducción que

n! = n(n-1)(n-2)···2·1

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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si n es así pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar.

Saludos.

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Es un poco absurdo el ejercicio, pues justamente así es la definición, pero ahí vamos...

$$\begin{align}&Inducción:\\&P(1): 1! = 1 \ (vale)\\&\\&P(n) \to_? P(n+1)\\&(n+1)! = (n+1) \cdot n! =_{ind} (n+1)n(n-1)(n-2)...(2)(1) \ (vale)\end{align}$$