Resolver usando Taylor para el siguiente
Hallar el siguiente limite usando la Fórmula de Taylor
$$\begin{align}&\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0) }\frac{\sin (xy)}{y}\end{align}$$No importa el tipo de resto que se utilice para su desarrollo con cualquiera esta bien.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
2
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¡Hola Fray Barreto!
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Consiste en tomar solo los términos necesarios del desarrollo, si tomamos más sería trabajo desperdiciado. Luego empezaremos con los términos de grado 1, y si se necesitan más los de grado 2.
$$\begin{align}&f(x,y)=sen(xy)\\&\\&f_x'(x,y) = ycos(xy)\implies f_x'(0,0)=0\\&\\&f_y'(x,y) = xcos(xy)\implies f_y'(0,0)=0\\&\\&\text{No sirven para nada, calcularemos los de grado 2}\\&\\&f_{xx}''=-y^2sen(xy)\implies f_{xx}''(0,0)=0\\&\\&f_{xy}''=\cos(xy)-xy·sen(x,y)\implies \\&\qquad f_{xy}''(0,0)=\cos(0)-0=1\\&\\&f_{yy}''=-x^2sen(xy)\\&\\&\text{ya tenemos suficiente f(x,y) en (0,0) es}\\&\\&f(x,y)=f(0,0)+x·f'_x(0,0)+y·f'_y(0,0)+\\&\qquad \qquad \frac 12\left( x^2 f_{xx}''(0,0)+ 2xy·f_{xy}''(0,0)+y^2f_{yy}''(0,0)\right)+R_2(x,y)\\&\\&sen(xy)=0+0x+0y+\frac{1}{2}\left(0x^2+2xy +0y^2 \right)+R_2(x,y)\\&\\&sen(xy)=xy+R_2(x,y)\\&\\&\text{Y calculamos ya el límite}\\&\\&\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{sen(xy)}{y}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy+R_2(x,y)}{y}=\\&\\&\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{y}+\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{R_2(x,y)}{y}=\\&\\&R_2(x,y) \text{ es un infinitésimo de orden 3, que}\\&\text{dividido por uno de orden 1 da uno de orden 2.}\\&\text{Luego el segundo límite es 0}\\&\\&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}x =0\\&\\&\\&\end{align}$$---
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