Anónimo
Resolver ecuaciones homogéneas 3er. Orden
Determinar la solución general de cada ecuación diferencial homogénea :
y'''+5y''=0
y'''-5y''+3y'+9y=0
y'''+3y''+3y'+y=0
Las que eran de orden 2 la resolvía usando la fórmula cuadrática; ahora como estas son de orden 3 no se como resolverlas. Si por favor me podrían explicar como hacerlo.
2 respuestas
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Son muchos ejercicios, hacemos uno por pregunta, como el primero y tercero son fáciles haré esos dos pero para el segundo tendrás que mandar otra pregunta si quieres.
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En el primero faltan coeficientes y la ecuación caraterística se resuelve con facilidad.
y''' + 5y'' = 0
La ecuación es
k^3+k^2 = 0
k^2(k+1) = 0
Luego tenemos las raices
k=0 dos veces
k=-1 una vez
Y la solución es
y = C1·e^(0·x) + C2·xe^(0·x) + C3·e^(-x)
y = C1 + C2·x + C3·e^(-x)
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Y el tercero es
y'''+3y''+3y'+y=0
cuya ecuación característica es
k^3 + 3k^2 + 3k + 1 = 0
Y esto es un cubo perfecto
(x+1)^3 = 0
Luego las raíces son
k=-1 tres veces
La solución será
y = C1·e^(-x) + C2·xe^(-x) + C3·x^2·e^(-x)
o de esta otra forma
y =(C1+C2·x+C3·x^2)e^(-x)
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Y eso es todo.
Envío respuestas a ejercicios 1 y 2
1) y''' + 5y''=0
Polinomio:
k^3 + 5 k^2=0
k^2 (k+5) = 0
Soluciones:
k=0 (2 veces
k=-5 (1 vez)
y = C1 e^(0x) + C2 x e^(0x) + C3 e^(-5x)
y = C1 + C2 x + C3 e^(-5x)
---
2) y'''-5y''+3y'+9y=0
Polinomio característico
k^3 - 5k^2 + 3k + 9 = 0
Se puede ver a ojo que -1 es raiz, y dividiendo por (x+1) tenemos que ese poliniomio se puede escribir como
(k+1)(k^2 - 6k + 9) = 0
Se puede ver que el segundo término es el binomio (x-3)^2, así que el polinomio finalmente es:
(k+1) (k-3)^2 = 0
O sea que las raices son
k = -1 (1 vez)
k = 3 (2 veces)
y = C1 e^(-x) + C2 e^(3x) + C3 x e^(3x)
Profe, en el primero no faltó usar el 5 en algún lado? lo pregunto porque:y=C1 + C2 x + C3 e^(-x)y' = C2 - C3 e^(-x)y'' = C3 e^(-x)y''' = -C3 e^(-x)Y sucede que y'''+y''= 0, pero no cumple la condición que decía y''' + 5y''=0La verdad que no recuerdo este tema, pues una vez que lo aprobé nunca más lo ví, pero me parece que falta usar el valor 5 para que cumpla la condición.Saludos - Anónimo
Veo que los comentarios no respetan los saltos de línea por lo que puede ser un problema, si se entiende bien, sino avíseme e intento escribirlo de manera que se entienda mejor. Saludos - Anónimo
No se si esto lo ve también quien pregunta, pero si sirve les comento que el segundo ejercicio se factoriza como (k+1)(k-3)^2 - Anónimo