Hallar derivada en los puntos indicados

$$\begin{align}& \end{align}$$

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Maar!

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Cuando en una función exponencial tanto la base como el exponente son funciones de x, para hacer la derivada hay que usar una técnica llamada derivación logarítmica.

$$\begin{align}&y=x^{ln|x+1|}\\&\\&\text {tomamos logaritmos neperianos}\\&\\&lny = ln(x^{ln|x+1|})\\&\\&lny =ln|x+1|·ln\,x\\&\\&\text{Derivamos en los dos lados. Puedes}\\&\text{dudar sobre la derivada de }ln|x+1|\\&\text{Pero si haces la gráfica verás que}\\&x+1\gt 0  \implies \text{pendiente positiva}\\&x+1\lt 0 \implies \text{pendiente negativa}\\&\text{luego } (ln|x+1|)'=\frac 1{x+1}\\&\\&\frac {y'}y=\frac{1}{x+1}·ln\,x+ln|x+1|·\frac 1x\\&\\&y'=y\left(\frac{ln\,x}{x+1}+\frac{ln|x+1|}{x}  \right)\\&\\&y'=x^{ln|x+1|}\left(\frac{ln\,x}{x+1}+\frac{ln|x+1|}{x}  \right)\\&\\&\text{Y el valor en x=0 es}\\&\\&y'(0)=0^0\left(\frac{-\infty}{1}+\frac{1}{0}  \right)\end{align}$$

¡Madre mía!

No he visto tantas indeterminaciones juntas en toda mi vida. Habrá que estudiar bien el caso.

En primer lugar, las exponenciales solo están definidas para base no negativa, luego debe ser x>=0, eso significa que la función solo esta definida para x>=0

Entonces podemos incluso quitar ese molesto valor absoluto del logaritmo ya que x+1>0 en todo el dominio de la función. Y lo que debemos hacer es calcular el límite por la derecha de la derivada

$$\begin{align}&\lim_{x\to0^+}x^{ln|x+1|}\left(\frac{ln\,x}{x+1}+\frac{ln|x+1|}{x}  \right)=\\&\\&\lim_{x\to 0^+}x^{ln(x+1)}·\lim_{x\to 0^+}\frac{x·lnx+(x+1)ln(x+1)}{x(x+1)}=\\&\\&\text{todo }x\neq 0 \text{ tiende a 1 si el exponente tiende a 0}\\&\\&1·\lim_{x\to 0^+}\frac{x·ln\,x+(x+1)ln(x+1)}{x(x+1)}=\\&\\&\lim_{x\to 0^+}\frac{x·ln\,x+x·ln(x+1)+ln(x+1)}{x(x+1)}=\\&\\&\lim_{x\to 0^+}\frac{x[ln x+ln(x+1)]}{x(x+1)}+\lim_{x\to0^+}\frac{ln(x+1)}{x(x+1)}=\\&\\&\lim_{x\to 0^+}\frac{ln [x(x+1)]}{x+1}+\lim_{x\to0^+}\frac{ln(x+1)}{x(x+1)}=\\&\\&\frac{ln\,0}{1}+\lim_{x\to0^+}\frac{ln(x+1)}{x(x+1)}=\\&\\&-\infty+lim_{x\to0^+}\frac{ln(x+1)}{x^2+x}=\\&\\&\text{calculemos por l'Hôpital}\\&\\&-\infty+\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x+1}}{2x+1}=-\infty+\frac{\frac 11}{1}=-\infty+1=-\infty\end{align}$$

Luego la derivada no existe pero tiende a -infinito.

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Y eso es todo.