Apoyo para resolver el siguiente limite cuando h tiende a cero.
$$\begin{align}&\lim_{h \to \ 0}\frac{(x+h\frac{5}{13})^{y+h\frac{12}{13}}-x^y}{h}\end{align}$$
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$$\begin{align}&\lim_{h \to \ 0}\frac{\left(x+h\frac{5}{13}\right)^{y+h\frac{12}{13}}-x^y}{h}=\\&\\&\lim_{h \to \ 0}\frac{\left(x+h\frac{5}{13}\right)^{y}·\left(x+h\frac{5}{13}\right)^{h\frac{12}{13}}-x^y}{h}=\\&\\&\text{El segundo factor}\to(x+0)^0 =1\\&\\&\lim_{h \to \ 0}\frac{\left(x+h\frac{5}{13}\right)^{y}-x^y}{h}=\\&\\&\lim_{h \to \ 0}\frac 5{13}·\frac{\left(x+h\frac{5}{13}\right)^{y}-x^y}{\frac{5}{13}h}=\\&\\&\frac 5{13}·\lim_{\frac 5{13}h\to 0}\frac{\left(x+h\frac{5}{13}\right)^{y}-x^y}{\frac{5}{13}h}\\&\\&=\frac 5{13} \frac{d(x^y)}{dx}\\&\\&\text {Dos casos:}\\&\text{a) Si y no es función de x}\\&\\&lim=\frac 5{13}yx^{y-1}\\&\\&b) \text{ Si y es una función de x}\\&\text{Hay que hacer derivación logarítmica}\\&\\&z=x^y\\&ln z = y·lnx\\&\frac{z'}{z}= y'·lnx +\frac{y}{x}\\&\\&lim=z'=x^y\left(y'·lnx+\frac yx \right)\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Yo supongo que os habrán querido poner el caso a) el otro es uno que se me ha ocurrido pero creo que tendrían que decir claramentes que y es una función de x para tenerlo en cuenta. De todas formas la solución b) es general, si y es una constante, se obtiene la solución a)
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Y es es todo.
¡Ay espera! Qu e en la solución b falta el 5/13
$$\begin{align}&lim=\frac 5{13}x^y\left(y'·lnx+\frac yx \right)\end{align}$$
Lo que sucede es que éste es un ejercicio de derivada direccional y la función que me dan es de dos variables, es decir: f(x,y) = x^y. entonces me piden hallar la derivada direccional mediante la definición de limite de esa función f(x,y) en el punto (xo,yo) en dirección al vector unitario: (5/13 , 12/13). De hecho existe otro método para calcular la derivada direccional que es mediante el uso del gradiente y es mucho más fácil y rápido, pero me lo han pedido por definición de limite y ya he calculado el resultado mediante la definición de gradiente y me ha salido un poco distinto el resultado, me diò: (5/13)*yo*(xo)^(yo-1) + (12/13)*xo^(yo*ln(xo). entonces no sé si esté mal lo que he hecho.
muchas gracias.
un saludo.
Ahora no puedo resolverlo porque tengo que irme. ¿Podrías poner todo el enunciado del ejercicio? Tengo alguna duda.
Qué tal, el problema completo es el siguiente:
Calcular la derivada direccional de la siguiente función a lo largo del vector unitario dado y en el punto indicado usando la definición de límite:
f(x,y) = x^y , P(xo,yo) , vector unitario = (5/13, 12/13)
un saludo.
Hice mal el límite túno habías hecho nada mal. Si mediante el gradiente te da una derivada direccional, mediante la definición tiene que darte lo mismo. Lo que pasa es que el límite de la definición es de esos de matrícula. Y por ser de matrícula voy a usar la regla de l'Hôpital para resolverlo, si hay alguien que lo sepa calcular sin esa regla que lo haga, pero que tenga cuidado no le pase lo que a mí.
Luego el límite será la derivada respecto de h del numerador entre la del denominador respecto de h, como esta segunda es 1 el límite es la derivada del numerador respecto de h.
Como la base y el exponente son funciones de h la derivada debe calcularse mediante derivación logarítmica. Para no arrastrar expresiones muy complejas vamos a calcular la derivada genérica de una función a^b suponiendo que a y b son funciones de h y lo obtenido lo aplicaremos a la función que tenemos nosotros
$$\begin{align}&\lim_{h\to 0}\frac{a^b-x^y}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(a^b)'-0}{1}=\lim_{h\to 0}(a^b)'\\&\\&z=ln\, a^b = b·lna\\&\\&\text{Haciendo derivación logarítmica}\\&\\&\frac{(a^b)'}{a^b} = b'·lna + b·\frac{a'}{a}\\&\\&(a^b)' = a^b·b'·lna + a^b·b·\frac{a'}{a}\\&\\&(a^b)' = b'·lna ·a^b+ a'·b·a^{b-1}\\&\\&\text{Y esto lo aplicamos con}\\&\\&a=x+\frac{5}{13}h\qquad b=y+\frac {12}{13}h\\&\\&\lim_{h\to 0}(a^b)'=\lim_{h\to 0}\left[\frac {12}{13}·\left(x+\frac 5{13}h \right)^{y+\frac{12}{13}h}·ln\left( x+\frac{5}{13}h \right)+\right .\\&\left. \qquad \frac 5{13}·\left(y+\frac{12}{13}h \right)·\left(x+\frac{5}{13}h\right)^{y+\frac{12}{13}h-1}\right]=\\&\\&\frac {12}{13}x^y·lnx+\frac 5{13}yx^{y-1}\\&\end{align}$$Y eso es todo.
