No entiendo muy bien como resolver (matemáticas)

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Está muy poco clara la función de densidad:

$$\begin{align}&\frac 3450^3(50^2-x^2)\\&\\&\frac{3}{4·50^2}(50^2-x^2)\end{align}$$

Bueno, pues he probado haciendo que su integral entre -50 y 50 valiese 1 y es la segunda.

Siendo así tengo que decirte que no has puesto bien los paréntesis. Todo denominador que tenga sumas o productos debe llevar paréntesis porque si no es imposible saber donde termina y la norma es cortarlo nada más que se puede. Luego deberías haber escrito

3/(4·50^3) · (50^2 - x^2)

Vamos con el ejercicio.

1)

La esperanza es la integral entre -infinito e infinito de x por la función de densidad. Como solo hay probabilidad entre -50 y 50 tomamos esos extremos

$$\begin{align}&E(X)=\int_{-50}^{50}x·\frac{3}{4·50^3}(50^2-x^2)dx=\\&\\&\frac{3}{4·50^3}\int_{-50}^{50}(50^2x-x^3)dx=\\&\\&\frac{3}{4·50^3}\left[50^2 \frac{x^2}2-\frac{x^4}{4}  \right]_{-50}^{50}=\\&\\&\frac{3}{4·50^3}\left(\frac{50^4}{2}-\frac{50^4}{4}-\frac{50^4}{2}+\frac{50^4}{4}\right)=\\&\\&\frac{3}{4·50^3}·0 = 0 \end{align}$$

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2)

La E(X^2) es la integral de x^2 por la función de distribución.

$$\begin{align}&E(X)=\int_{-50}^{50}x^2·\frac{3}{4·50^3}(50^2-x^2)dx=\\&\\&\frac{3}{4·50^3}\int_{-50}^{50}(50^2x^2-x^4)dx=\\&\\&\frac{3}{4·50^3}\left[50^2 \frac{x^3}3-\frac{x^5}{5}  \right]_{-50}^{50}=\\&\\&\frac{3}{4·50^3}\left(\frac{50^5}{3}-\frac{50^5}{5}+\frac{50^5}{3}-\frac{50^5}{5}\right)=\\&\\&\frac{3}{4·50^3}·50^5\left(\frac 13+\frac 13-\frac 15-\frac 15\right)=\\&\\&\frac{3·50^2}{4}\left(\frac 23-\frac 25\right)=\\&\\&\frac{3·50^2}{4}·\frac 4{15}=\frac{50^2}{5}=\frac{2500}{5}=500\\&\\&\end{align}$$

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3)

Ya tenemos calculada la varianza porque

$$\begin{align}&V(X) = E[(X-E(X))^2]\\&\\&\text{como era }E(X)=0\\&\\&V(X)=E(X^2)\\&\\&\text{que acabamos de calcular}\\&\\&V(X) = 500\\&\\&\text{luego la desviación es}\\&\\&\sigma_{X}= \sqrt{V(X)}= \sqrt{500}=10 \sqrt 5\approx\\&\\&22.360679775\end{align}$$

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Y eso es todo.

¡Gracias me quedó muy claro como siempre! y gracias por la corrección de paréntesis yo se que un error así puede cambiar o confundir el ejercicio.