¿Puedes determinar los cálculos que se indican a continuación?
¿Qué ocurre con la producción en el largo plazo, (es decir cuando t tiende a infinito)?
Responde lo siguiente:
2 respuestas
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Es muy posible que no hayas dado la regla de l'Hopital. Los límites de funciones racionales no precisan esa regla para resolverlos, simplemente hay que dividir numerador y denominador entre el mayor exponente que aparece en la expresión. Y eso en teoría, porque en la practica se resuelven sin hacer nada, vamos, practicamente nada.
$$\begin{align}&\lim_{t\to\infty}\frac{6t^2+5t}{(t+1)^2}=\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{6t^2+5t}{t^2+2t+1}=\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{\frac{6t^2+5t}{t^2}}{\frac{t^2+2t+1}{t^2}}=\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{6+\frac 5t}{1+\frac 2t+\frac{1}{t^2}}=\frac{6+0}{1+0+0}=6\end{align}$$Y como Q va en miles de unidades son 6000 unidades.
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Moraleja para el cálculo en la practica.
Cuando tenemos una función racional (polinomio en numerador y denominador) y ambos polinomios tienen el mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado de los dos polinomios. Así en este caso esos coeficientes eran 6 en el numerador y 1 en el denominador, con lo cual el límite es 6/1=6
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En el segundo la población a 0 años y 5 años se calcula sustituyendo y te da
P(0) = 0/10 - 50/1 + 70 = 0 - 50 +70 = 20
como va en milñes son 20000 personas
P(5) = 40·5 / (25+10) - 50 / (5+1) + 70 = 200/35 - 50/6 + 70 =
5.714285714 - 8.333333333 + 70 = 67.38095238
Como va en miles es 67380.95238
Y como hay que redondear 67381 personas
Y en el infinito habrá que calcular el límite. De nuevo no es necesaria la regla de l'Hôpital, se hace igual que antes dividiendo por x al mayor exponente que aparece en cada función racional, y al final extaeré la conclusión para que tengas squiera que hacer eso.
$$\begin{align}&\lim_{t \to \infty} \left(\frac{40}{t^2+10}-\frac{50}{t+1}+70\right)=\\&\\&\lim_{t \to \infty} \left(\frac{40}{t^2+10}\right)-\lim_{t\to\infty}\left(\frac{50}{t+1}\right)+\lim_{t\to\infty}70=\\&\\&\lim_{t \to \infty} \left(\frac{\frac{40}{t^2}}{\frac{t^2+10}{t^2}}\right)-\lim_{t\to\infty}\left(\frac{\frac{50}t}{\frac{t+1}t}\right)+70=\\&\\&\lim_{t \to \infty} \left(\frac{\frac{40}{t^2}}{1+\frac{10}{t^2}}\right)-\lim_{t\to\infty}\left(\frac{\frac{50}t}{1+\frac{1}t}\right)+70=\\&\\&\frac{0}{1+0}-\frac{0}{1+0}+70 = 0-0+70 = 70\end{align}$$Que como son miles son 70000 personas.
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Y la conclusión es que cuando el grado del polinomio del denominador es mayor que el del numerador el limite en el infinito vale 0
Perdona que escriba aquí lo que es un comentario a la otra respuesta, pero es que en los comentarios no te dejan escribir bien las expresiones, no ponenn saltos de línea, etc.
Albertx, para no confundirse en las expresiones escritas en una sola línea es imprescindible escribir bien los paréntesis ya que en ellas es imposible deterrminar la longitud de los denominadores por ejemplo, por ello lo que es denominador compuesto de varios términos debe ir todo el entre paréntesis. Y ya sabes que en ausencia de paréntesis se ejecutan primero las potencias, luego las multiplicaciones y divisiones y después las sumas y restas.
Entonces lo que quieres expresar debe escribirse así:
lim Q(t) = lim (6t^2 + 5t) / (t+1) ^2 =
aplicando L´'hospital
= lim (12t + 5) / (2t +2) = lim ( 6-7 / (2t+2 ))
Pero has hecho toda una división larga de polinomios, algo que es excesivo. Ya que has empezado usando la regla de l'Hôpital es más sencillo aplicarla de nuevo y te queda.
lim (12t + 5) / (2t +2) = lim 12 / 2 = 6
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Pero aparte de todo eso, la enseñanza de límites comienza siempre por aprender unos cuantos límites que se pueden resolver sin usar la regla de l'Hopital y este es uno de los más sencillos de puede haber de ese tipo. Ya cuando los límites son muy complicados y a lo mejor no hay otra forma de resolverlos es cuando te enseñan la regla de l'Hôpital.
1) Planteas el lim. P(t) para t tendiendo a infinito.....
lim Q(t) = lim (6t^2 + 5t) / (t+1) ^2 = lim (12t + 5) / 2t +2 = aplicando L´'hospital= lim ( 6-7 / 2t+2 )
= 6 para t creciendo indefinidamente.
El resultado sería 6 mil unidades.
2) Cuando no ha transcurrido un año entero: P(t) = 0/10 - 50/1 + 70 = 20 mil personas.
Cuando han transcurrido 5 años sería P(t) = (40 x 5 / 25 + 10) - 50/6 + 70 = 5.7143 - 8.3333 +70 = 67,381 miles de personas.
En el largo plazo ( t tendiendo a infinito) ... el primer termino por L'Hospital quedaría 40/ 2t que tiende claramente a 0... el segundo término tiende también a 0 ... luego queda solamente el tercer termino constante = 70 mil personas.