Continuidad en un polinomio
Valeroasm lo siento.. Pero que sino suspendo D:
¿Cómo narices se puede estudiar la continuidad en un polinomio si no viene determinada por una función a trozos?
Más concretamente en este polinomio: f(x)=(x^2+5x-6)/(x^2+3x-4)
Las soluciones del denominador son: x1=1, x2=-4.
1 respuesta
Eso no es un polinomio, es un cociente de polinomios. Se llama un función racional.
Y un cociente de polinomios es una función continua en todos los puntos salvo donde se anula el denominador porque la división entre cero no está definida. Pero si el limite es finito y coincide por la derecha y la izquierda es una discontinuidad evitable, se define el límite como valor de la función en ese punto y pasa a ser continua en él.
En la práctica estos problemas se reducen a encontrar factores comunes en el numerador y denominador y simplificar si son coincidentes.
Ya has hallado las raíces del denominador, son 1 y -4.
Ahora vamos a ver las del numerador
x²+5x-6=0
x= [-5 +- sqrt(25+24)]/2 = (-5+-7)/2 = -6 y 1
Con estas raíces podemos escribir:
$$\begin{align}&\lim_{x \to 1} \frac{x²+5x-6}{x²+3x-4}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+6)}{(x-1)(x+4}=\\ &\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 1} \frac{x+6}{x+4}= \frac{7}{4}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Luego definiendo f(1)=7/4 se soluciona la discontinuidad es es punto.
Para el punto x=-4 no hay remedio. Su límite es infinito y eso no tiene arreglo.
Y eso es todo.
¿Y por qué se coge para hacer el límite el 1 en lugar que el -6?
¿Y el límite al final del todo no sería 7/5 en lugar de 7/4?
Muchas gracias!!
Si, la solución es 7/5, me equivoqué.
En -6 no hay ningún problema, el límite es cero, si acaso querrás decir -4.
Da lo mismo, salvo en la última igualdad de todas, en la que se pone = 7/5, no se ha usado para nada que el límite sea 1 o -4. Puedes volver a escribir todo poniendo que el límite tiende a -4 y cambiar únicamente la igualdad última donde te dará 2/0 que es infinito, lo cual significa que en -4 no es continua.
