Cuales son las longitudes de los catetos

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Sean x, y las longitudes de los catetos. Uno de ellos es la base y otro la altura, luego el área es:

Area = xy / 2

30 = xy / 2

xy = 60

Y por el teorema de Pitágoras tenemos

x^2 + y^2 = 13^2

x^2 + y^2 = 169

En la ecuación de arriba despejamos x

x = 60 / y

para llevarla a la segunda

(60/y)^2 + y^2 = 169

3600 / (y^2) + y^2 = 169

multiplcamos todo por y^2

3600 + y^4 = 169y^2

y^4 - 169y^2 + 3600 = 0

Resolvemos la ecuación bicuadrada

$$\begin{align}&y^2 = \frac{169 \pm \sqrt{169^2-4·3600}}{2}= \\&\\&y^2= \frac{169\pm \sqrt{14161}}{2}= \frac{169\pm 119}{2}= 144\; y\; 25\\&\\&\text{Para obtener y hacemos las raíces cuadradas}\\&\\&y=\pm12 \;y\; \pm 5\end{align}$$

Para este problema solo sirven las medidas positivas luego

y = 12 y 5

Vemos que para y=12 tendremos x=60/12 = 5

y para y=5 tendremos x=60/5 = 12

Luego uno de los lados mide 12m y el otro 5m

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Y eso es todo.