Problemas de integrales dadas dos funciones 1

a)   Sea:

$$\begin{align}&f(x)=x^2\end{align}$$

Y:

$$\begin{align}&g(x)=x^3\end{align}$$

Calcula:

$$\begin{align}&∫_0^1f dg\end{align}$$

b)  Sea:

$$\begin{align}&f:[a,b]→R \end{align}$$

una función continua y diferenciable tal que:

$$\begin{align}&f(a)=f(b)=0\end{align}$$

Y:

$$\begin{align}&∫_a^b〖〖f(x)〗^2=1〗\end{align}$$

Demuestra que:

$$\begin{align}&∫_a^bxf(x)f'(x)dx=-1/2\end{align}$$

Tip: Utiliza el teorema de integración por partes, con

$$\begin{align}&f(x)=x  y  g'(x)=f(x)f'(x)\end{align}$$

1 Respuesta

Respuesta
1

Amo Mo!

a)

La integral de Riemann- Stieltjes se transforma en una integral de Riemann

$$\begin{align}&\int_a^bf(x)dg(x) =\int_a^b f(x)g(x)dx\\ &\\ &\text {con lo cual}\\ &\\ &\int_0^1x^2d(x^3)=\int_0^1x^2·3x^2dx =\\ &\\ &\int_0^1 3x^4dx = \left.  \frac 35x^5\right|_0^1= \frac 35\end{align}$$

b)

$$\begin{align}&\int_{a}^{b}  xf(x)f´(x)dx=\\ &\\ &u=x\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad du= dx\\ &\\ &dv=f(x)·f'(x)dx\quad v= \frac{[f(x)]^2}{2}\\ &\\ &=\left.x \frac{[f(x)]^2}{2}\right|_a^b- \int_a^b  \frac{[f(x)]^2}{2}dx=\\ &\\ &b \frac{[f(b)]^2}{2}-a \frac{[f(a)]^2}{2} -\frac 12  \int_a^b  [f(x)]^2dx=\\ &\\ &\text{Como f(a)=f(b)=0 y esa integral vale 1}\\ &\\ &0-0-\frac 12·1=-\frac 12\end{align}$$

Y eso es todo.

Añade tu respuesta

Haz clic para o

Más respuestas relacionadas