Esta es la ultima integral de la serie

Hagamos la división entera porque el método de las fracciones simples es para funciones racionales con mayor grado en el denominador que en el numerador.

Bueno, tampoco vamos a motar el tinglado que se usa para dividir polinomios, en este caso solo habrá un término en el cociente y se calcula fácil

$$\begin{align}&\frac{1}{5}\int_{1}^{5}\frac{10x^2-50x+7}{50x^2-e^5x+10}dx\\ &  \\ &  \frac 15\int_1^5 \left(\frac 15 + \frac{\left(50+\frac{e^5}{5}\right)x+7-2}{50x^2-e^5x+10}\right)dx=\\ &  \\ &  \frac 15·\left. \frac x5\right|_1^5 +\frac 15·\frac 15\int_1^5 \frac{(250+e^5)x+25}{50x^2-e^5x+10}dx =\\ &  \\ &  \frac 15·\left( 1-\frac 15\right)+\frac 1{25}\int_1^5 \frac{(250+e^5)x+25}{50x^2-e^5x+10}dx=\\ &  \\ &  \frac 4{25}+\frac 1{25}\int_1^5 \frac{(250+e^5)x+25}{50x^2-e^5x+10}dx\end{align}$$

Del 4/25 y 1/25 me voy a olvidar ahora que es my molesto irlos arrastrando, acuerdate que al final hay que utilizarlos.

$$\begin{align}&50x^2-e^5x+10=0\\ &  \\ &  x=\frac{e^5\pm \sqrt{e^{10}-2000}}{100}\\ &  \\ &  \text{son reales porque }e^{10}\gt 2000\\ &  \\ &  \text{llamando r a la raíz del +, y s a la del -}\\ &  \\ &  \frac{(250+e^5)x+25}{50x^2-e^5x+10}= \frac a{x-r}+\frac{b}{x-s}\\ & \\ & (250+e^5)x+25 = a(x-s)+b(x-r)\\ & \\ & a+b=250+e^5\implies b=250+e^5-a\\ & -as-br = 25   \implies-as-250r -re^5+ar=25\\ & \\ & a= \frac{25+250r+re^5}{r-s}\\ & \\ & b= 250 + e^5-\frac{25+250r+re^5}{r-s}=\\ & \\ & \frac{250r-250s+re^5-se^5-25-250r-re^5}{r-s}=\\ & \\ & -\frac{25+250s+se^5}{r-s}\\ & \\ & \text{con lo cual la integral parcial es}\\ & \\ & I_p=\left[\frac{25+250r+re^5}{r-s}ln|x-r|-\frac{25+250s+se^5}{r-s}ln|x-s|\right]_1^5\\ & \\ & \text{Y la total}\\ & \\ & I_t=\frac {4+Ip}{25}\\ & \\ & donde\\ & \\ & r=\frac{e^5+ \sqrt{e^{10}-2000}}{100}\\ & \\ & s=\frac{e^5- \sqrt{e^{10}-2000}}{100}\end{align}$$

Y no voy a sustituir los valores reales de r y s para continuar con las cuentas, es algo inhumano que se conforme el profesor con esto.

¡Gracias!  tremenda integral