Integral x^4 - x^3 - x -1/x^3- x^2 dx por el método de fracciones simples

Lo primero es hacer la división para dejar esa fracción en la forma:

C(x) + R(x) / D(x)

Donde C(x) es el cociente, R(x) el resto y D(x) el divisor. Y el grado del resto debe ser menor que el grado del divisor.

La división es un algoritmo similar al de la división de números enteros, se irá añadiendo en cada paso el cociente de los términos de mayor grado

x^4 - x^3 - x -1       |x^3 - x^2
                        ------------
                         X 
Ahora el cociente se multiplica por el divisor y 
Se pone con signo menos debajo del cociene para sumarlo
 x^4 - x^3 - x -1    |x^3 - x^2
                      ------------
-x^4 + x^3             x
----------            
  0 0

Bueno, ha salido excesivamente fácil, lo normal es que hubiera habido algo de grado 3 en el resto y hubiera habido que operar otra vez.

Entonces el resto es -x-1 = -(x+1) Y la integral podemos expresarla asi:

$[(x^4 - x^3 - x -1) / (x^3 - x^2)]dx = $[x - (x+1)/(x^3-x^2)]dx =

El $ es el signo de la integral

= (x^2)/2 - $[(x+1)/(x^3-x^2)]dx

Para la integral que queda hay que usar ún método que permite poner esa fracción como suma de otras más simples. Lo primero que hay que hacer es calcular las raíces del denominador y factorizarlo, porque el método es distinto dependiendo se si son son simples, repetidas, reales o complejas.

x^3-x^2 = x^2(x-1)

Para las raíces simples se toman fracciones con el factor como denominador, para raíces múltiples se toman tantas fracciones como indica el exponente y como denominadores todas las potencias desde 1 hasta el exponente del factor. Y como numerador de cada fracción se pondrá una incógnita, usualmente se usan las letras A, B, C, D,... Yo uso las mismas pero en minúscula porque son mucho más fáciles de mecanografiar.

Entonces, el método dice que

(x+1)/(x^3-x^2) = (x+1) / [x^2(x-1)] = a/x + b/x^2 + c/(x-1) =

Y ahora lo que hay que hacer es calcular esas incógnitas a, b y c

He visto algunos métodos directos e incomprensibles, la forma correcta y razonada de despejar

Las incógnitas pasa por usar el algoritmo de la suma de fracciones:

a/x + b/x^2 + c/(x-1) = [ax(x-1) + b(x-1) + cx^2] / [x^2(x-1)]

No es necesario que vuelva a escribir todo con el denominador operado, ya se ve que este denominador es el mismo que el que teníamos al principio del todo. Y cuando en una igualdad son iguales los denominadores también lo serán los numeradores, luego

x+1 = ax(x-1) + b(x-1) + cx^2

Esto es una igualdad polinomial de grado 2, vamos a operar y agrupar términos en el miembro derecho:

x + 1 = ax^2 - ax + bx - b + cx^2 = (a+c)x^2 + (b-a)x - b

Por ser una igualdad de polinomios se trata de varias igualdades una por cada monomio, para que la veas completa pon con ceros los monomios que no aparecen y 1 donde no haya coeficientes:

0x^2 + 1x + 1 = (a+c)x^2 + (b-a)x - b

Y las tres igualdades nos darán un sistema de ecuaciones que hay que resolver

a+c = 0

b-a = 1

-b = 1

Y se resuelve fácilmente en esta ocasión

b=-1

-1-a = 1 ==> a = -2

-2+c = 0 ==> c =2

Luego lo que hemos obtenido es:

(x+1)/(x^3-x^2) = -2/x - 1/x^2 + 2/(x+1)

$[(x+1)/(x^3-x^2)]dx = $[-2/x - 1/x^2 + 2/(x+1)]dx = -2ln|x| + 1/x + 2ln(x-1) + C

- ln(x^2) + 1/x + ln[(x-1)^2] + C = 1/x + ln[(x-1)^2/x^2] + C = 1/x - ln[(1-1/x)^2] + C

Miles de veces me pregunto si es mejor aplicar esas propiedades de los logaritmos o es mejor dejarlo tal como al principio con los logaritmos sueltos. La respuesta es que a los profesores les gusta que lo hagamos, aunque quede peor y luego es incomparablemente más difícil de derivar para comprobar si está bien.

Y no olvidemos que esta integral era solo una parte de la integral inicial

$[(x^4 - x^3 - x -1) / (x^3 - x^2)]dx = (x^2)/2 - $[(x+1)/(x^3-x^2)]dx =

(x^2)/2 - 1/x - ln[(1-1/x)^2] + C

Y esa es la integral. Si quieres agrupar los dos primeros términos los agrupas haciendo la suma de fracciones, no se gana nada y con este editor quedaría algo medio incomprensible.

Recuerdo que hay mil formas de presentar la respuesta, así que a lo mejor no se parece a la que tenga el profesor, pero está bien.

Lo comprobamos derivando aunque desharé alguna propiedad de los logaritmos para hacer más sencilla la derivación. También lo haré a mi manera y me saltaré pasos, al fin y al cabo es una mera comprobación

x +1/x^2 - [2/(1-1/x)]·(1/x^2) =

x + (1/x^2)[1-2x/(x-1) ] =

x +(1/x^2)[(-x-1)/(x-1) =

x +(-x-1)/[x^2(x-1)] =

(x^3-x^2-x-1) / (x^3-x^2)

ESTA BIEN.

Y eso es todo.