El seguro contrario niega a darme indemnización

El día 12 de diciembre del año pasado tuve un accidente de trafico, siendo culpable la otra persona. Se hizo un parte amistoso, donde la otra persona admitía que era culpable del accidente, ya que se salto un ceda el paso en una rotonda, donde yo ya estaba circulando.

Estuve yendo al medico, con collarín y tomando antiinflamatorios y relajantes musculares, ya que tenia contractura cervical y muscular en el trapecio. Nadie me dijo que necesitaba rehabilitación, pero como a día de hoy no se me ha quitado el dolor de cuello y de cabeza debido a la contractura, fui al seguro para solicitar que me viera el medico del seguro del coche para que me mandara las sesiones (que es como me habían dicho que tenia que hacer para poder dármelas sin yo tener que pagar, ya que ha sido debido al accidente). Se negaron a venir a verme, así que mi seguro me aconsejó que lo hiciera de forma particular, pagando yo y luego adjuntando las facturas correspondientes, ya que están obligados a pagármelas.

Me puse en marcha y decidí ir al traumatólogo, que me dijo que tenia que hacer rehabilitación. Ya llevo 6 sesiones poniéndolo de mi dinero y la primera factura ya la he llevado a mi aseguradora para que se la mandaran a la contraria.
Hoy, me ha llamado mi aseguradora diciéndome que han puesto en marcha al abogado del seguro, porque por lo visto no solo se negaban a pagarme las ultimas facturas, sino que no pensaban darme indemnización alguna, por lo que tenemos que meternos en juicio, ¿eso puede ser posible? ¿No están obligados a darme indemnización? ¿Suelen ganarse estos casos?