estimador máxima verosimilitud

Sea X1,......Xn una muestra aleatoria de una distribución de Poisson, con parámetro t desconocido. Sea r=P(Xi=2). El estimador de máxima verosimilitud para r es:??

ayuda con esta muchas gracias!!1

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Respuesta de

¡Hola Elmandew!

Nos dan una muestra, el método de máxima verosimilitud consiste en encontrar el parámetro que nos piden tal que haga que la probabilidad de haber obtenido esa muestra sea máxima.

Para un determinado valor del parámetro cada uno de los elementos de la muestra tendrá una probabilidad, para tener una visión global de la probabilidad de toda la muestra lo que se hace es el producto de todas esas probabilidades.

Eso da una función del parámetro y lo que se hace es calcular su máximo, normalmente derivando.
Otra cosa es que la derivada de un producto de n funciones suele ser muy complicada, entonces lo que se hace es tomar el logaritmo de ese producto, lo cual se transforma en una suma de funciones logarítmicas y es sencillo derivarlas para obtener el máximo. El máximo de una función positiva es el mismo que el de su logaritmo.

Vamos a verlo resolviendo el ejercicio que se verá mas claro
La distribución de Poisson es:

$$\begin{align}&p(X_i)=\frac{e^{-\lambda}·\lambda^{X_i}}{X_i!}\\ &\\ &\\ &L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda}·\lambda^{X_i}}{X_i!}= \\ &\\ &\frac{1}{X_1!X_2!···X_n!}\prod_{i=1}^n e^{-\lambda}·\lambda^{X_i}\\ &\end{align}$$

Lo que hemos sacado fuera es una constante, luego el máximo estará donde esté el máximo de lo que queda dentro.
Es ahora cuando vamos a tomar logaritmos neperianos del multiplicatorio (tal vez allí lo llaméis productoria)

$$\begin{align}&ln(\prod_{i=1}^n e^{-\lambda}·\lambda^{X_i}) =\\ &\\ &\sum_{i=1}^n ln(e^{-\lambda}·\lambda^{X_i}) =\\ &\\ &\sum_{i=1}^n(ln \,e^{-\lambda}+ ln \,\lambda^{X_i}) =\\ &\\ &\sum_{i=1}^n(-\lambda+ X_i·ln\, \lambda)=\\ &\\ &-\lambda n+ln\,\lambda\sum_{i=1}^nX_i\\ &\\ &\\ &\text{derivamos respecto }\lambda \text{ e igualamos a 0}\\ &\\ &-n + \frac{\sum_{i=1}^nX_i}{\lambda}=0\\ &\\ &\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{\lambda}=n\\ &\\ &\lambda = \frac{\sum_{i=1}^nX_i}{n} =\overline X\end{align}$$
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