¿Qué son los logaritmos? Un poco de historia de ellos, y las clases

Creo que es la propia palabra la que asusta inicialmente a la gente, pues en el fondo la humanidad debía haber llegado a ellos de una forma natural aunque no lo hizo y los logaritmos se atribuyen a un invento de John Napier, que ni siquiera era matemático, sino un terrateniente.

Me explico: a toda operación que inventamos rápidamente hemos de buscar otra operación inversa que deshaga lo que hemos hecho. Es decir, en un principio descubrimos la suma y de ahí derivamos la resta. Haciendo sumas repetidas sacamos la multiplicación, y de ahí a la división no hay más que un paso. Si ahora repetimos una multiplicación llegamos a las potencias. Y de aquí, como ya tenemos dos números (base y exponente), podemos deducir dos inversas, las raíces y los logaritmos

5*5*5*5=5^4=625

Pues bien entonces de 5^4=625, tenemos

raiz4(625)=5-->raiz cuarta de 625 es 5

Log5 625=4 -->Logaritmo en base 5 de 625 es 4

En general decimos que
Loga b=c<--->a^c=b
El logaritmo en base a de b es c si se cumple que a elevado a c es b
Log2 8=3 pues 2^3=8

El hecho de que tengamos que usar una base hace que haya muchas clases de logaritmos en función de la base que usemos, aunque en matemáticas se usan dos clases de logaritmos
i) En base 10: logaritmos decimales: Log
ii) En base e=2.71828..(número de Euler): logaritmos neperianos o naturales

El hecho de que se use ese número tan aparentemente extraño se debe a razones de derivadas e integrales demostrables mediante el cálculo infinitesimal.
Curiosamente aunque se llaman logaritmos neperianos, Napier no usó esa base sino que usó la base 9999999

Con su definición podemos hacer logaritmos de muchos números, por ejemplo, usando logaritmos decimales (sin poner ya la base)
log10=1, pues 10^1=10
log100=2 pues 10^2=100
log1000=3, pues 10^3=1000

El problema es buscar un logaritmo de un número que no sea potencia entera de la base, por ejemplo
Log2=x-->10^x=2

Por eso desde antiguo, los matemáticos se pusieron a buscar métodos consistentes en sumas de series que les proporcionaran esos logaritmos, y hacían unas tablas con los logaritmos de gran cantidad de números. He hablado otra vez de esto en el mensaje Ahora los logaritomos...

Y ahora viene la gran pregunta que se hace uno cuando estudia cualquier concepto matemático: ¿Para qué sirve esto?.

Pues aunque parezca mentira para facilitarnos la vida. Los logaritmos no son un invento del Maligno para fastidiar la vida a los estudiantes, sino que es un método para simplificar operaciones.

Los logaritmos, en cualquier base (aquí usaremos la decimal, pero es cierto en todas las bases), cumplen unas propiedades que se resumen en tres:
Log(a*b)=Loga+Logb
Log(a/b)=Loga-Logb
Log(a^b)=b*Loga

Y entonces apreciamos que un logaritmo transforma un producto en una suma, una división en una resta y una potencia en una multiplicación, o sea, que reduce el grado de la operación por otra más sencilla.

Hoy en día estamos muy acostumbrados a usar las calculadoras, pero antiguamente era muy tedioso tener que hacer las operaciones a mano, y con la ayuda de las tablas de logaritmos se reducían las operaciones.

Por ejemplo supón que queremos hacer la raíz cúbica de 1234.
Debido a la relación entre las exponenciales y las raíces, tenemos que
x=raiz3(1234)=1234^(1/3)
Si aplicamos logaritmos
Logx=Log(1234)^(1/3)
Y por las propiedades de los logaritmos
Logx=(1/3)*Log(1234)
Buscando en una tabla de logaritmos el log de 1234
Logx=(1/3)*3.091
Logx=1.0304
Y buscando en una tabla un número cuyo logaritmo sea 1.0304, encontramos que
Log(10.726)=1.0304
con lo que
x=raiz3(1234)=10.726
Como ves se ha hecho una raíz cúbica sólo aplicando logaritmos y dividiendo entre 3.
Sinceramente el invento de los logaritmos fue un gran paso en las matemáticos y simplificaron muchísimo las operaciones con grandes números. Antes de la entrada de las calculadoras los estudiantes usaban una sencilla regla llamada regla de cálculo para operar. Esa regla funcionaba según las propiedades de los logaritmos.