Hola! ¿Me ayudan con esta problema de función derivada?
Hola!! Me pueden ayudar con esta problema?
Hay que vaciar un deposito para limpiarlo. Si Q representa el número de litros de agua en el deposito en t minutos después de haberlo destapado, Q = 200(30-t)^2
a- Graficar la función, en el dominio adecuado.
b-Calcular la razón media de salida del agua durante los 10 primeros minutos. Marca diferencial de Q y diferencial de t para el intervalo [0;10].
c-Marcar diferencial de Q y diferencial de t para el intervalo [10;20] y [20,30]. Marca la recta secante para los tres intervalos:¿que conclusion podes obtener respecto a la velocidad de salida del agua a medida que pasa el tiempo?
d-Obtener la velocidad instantanea de salida del agua para t cualquiera .¿es esta una función creciente o decreciente? Graficar.
e-Con que velocidad sale el agua a los 10 minutos ? Y los 15 minutos?
Gracias .Saludos!!
1 respuesta
a) El dominio adecuado lo consideraremos aquel en el que los litros de agua del tanque coinciden con lo que indica la función, parte del instante cero y llega hasta el instante en que se vacía el tanque
0 = 200(30-t)^2
(30-t)^2 = 0
30-t = 0
t=30
Luego Dom Q = [0, 30]
Esta es la gráfica junto con otras cosas que piden después.
b) Calculamos la cantidad de agua que ha salido en los 10 primeros minutos
Q(0) = 200(30-0)^2 = 200·900 = 180000 litros
Q(10) = 200(30-10)^2 = 200·400 = 80000 litros
Luego los litros que han salido son
180000-80000 = 100000 litros
Y la razón media es
100000 / 10 = 10000 litros/min
En el dibujo ya están los diferenciales pedidos
c) Están los otros diferenciales que piden.
Se ve que la velocidad disminuye ya que los diferenciales de t miden los mismo pero los que Q son menores cada vez.
d) La velocidad de salida del agua es la derivada de lo que sale respecto del tiempo.
Lo que sale es
f(t) = 180000 - 200(30-t)^2 =
180000 - 200(9000 - 60t + t^2) =
180000 - 180000 + 12000t - 200t^2 =
12000t - 200t^2
v(t) = f'(t) = 12000 - 400t
Es decreciente cada segundo vale menos
La gráfica es una recta fácil de representar pasa por los puntos (0,12000) y (30, 0)
e) La velocidad de salida es:
v(10) = 12000 - 400·10 = 12000 - 4000 = 8000 litros/min
v(15) = 12000 - 400·15 = 12000 - 6000 = 6000 litros/min
Y eso es todo.
