Pregunta de integrales triples

Respuesta de
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Usuario

Halle el volumen de una zona esférica

http://www.vitutor.net/2/2/43.html

 usando integrales triples usando las coordenadas cartesianas

(Básate en esa restricción, pues yo he demostrado con coordenadas cilíndricas, y coordenadas esféricas, y no quisiera la solución tomando esas coordenadas, lo que necesito es el desarrollo con el uso de las cartesianas).

Saludos.

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Experto

¡Hola Fabian_pdl!

 

He tenido unos días de actividad frenética tanto aquí como en la vida normal.

El dibujo de la página wed nos servirá en parte.

No voy a hacerlo por integral triple sino por simple.  Como los elemento diferenciales del volumen que voy a tomar van a ser rodajas cortadas por planos horizontales eso tendrá el volumen de un circulo multiplicado por el diferencial de la altura.  De sobras sabemos que el área del circulo es Pi·r^2 y nos evitamos 2 integrales anidadas sabiendo eso.

Hacemos la proyección sobre el plano de visión y queda por tanto el problema reducido a saber cuál es la función que nos dará el radio de cada rodaja que forma parte de la zona esférica.

Ahora uso los ejes normales del plano, hay una circunferencia y dos secantes paralelas.

Haré que la secante inferior de radio R se superponga con el eje X, entonces corta a la circunferencia por la derecha en (R, 0).  Y la secante superior corta por la derecha a la circunferencia en (r, h)

El centro de la circunferencia será el punto equidistante de estos que ademas está en el eje Y,

Luego será de la forma (0,a) y cumpliendo

R^2 + a^2 = r^2 +(h-a)^2

R^2 + a^2 = r^2 + h^2 - 2ah + a^2

R^2 = r^2 + h^2 - 2ah

2ah = r^2+h^2-R^2

a= (r^2+h^2-R^2)/2h

Luego el centro de la circunferencia es (0, (r^2+h^2-R^2)/2h)

y el radio de la circunferencia será la distancia al punto (R,0) por ejemplo. Aunque como solo me interesa el cuadrado de ese radio me evitare escribir la incomoda raíz cuadrada y lo llamaré S

S^2 = R^2+a^2

La ecuación de la circunferencia será

x^2 + (y-a)^2 = S^2 = R^2+a^2

x^2 + y^2 - 2ay + a^2 = R^2 + a^2

x^2 + y^2 - 2ay = R^2

Lo que nos interesa es el radio de las rodajas que es la coordenada x de esta circunferencia.  Peo no siquiera eso, lo que nos interesa es ese radio de las rodajas al cuadrado que multiplicado por Pi nos dará el área de cada rodaja

x^2 = R^2 + 2ay - y^2

Área de la rodaja a altura y = Pi(R^2 + 2ay - y^2)

Y ahora, integrando está función de área entre 0 y h nos dará el volumen de la zona esférica.

[math]\begin{align}&V=\pi\int_0^h (R^2+2ay-y^2)dy=\\ &\\ &\pi\left[ R^2y+ay^2-\frac{y^3}{3} \right]_0^h=\\ &\\ &\pi \left(hR^2+ah^2 -\frac{h^3}{3}\right)=\\ &\\ &\pi \left(hR^2+\frac{(r^2+h^2-R^2)h^2}{2h} -\frac{h^3}{3} \right)=\\ &\\ &\pi \left(hR^2+\frac{r^2h+h^3-R^2h}{2}-\frac{h^3}{3} \right)=\\ &\\ &\pi\left(\frac{6hR^2+3r^2h+3h^3-3R^2h-2h^3}{6} \right)=\\ &\\ &\frac{\pi h}{6}(3R^2+3r^2+h^2)\\ &\\ &\end{align}[/math]

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Un saludo.

Usuario

Lo que es hecho es tan fácil como resolverlos en polares, y cilíndricas, la dificultad era usando las otra coordenada cartesiana en integrales triples, no se que me dices, vas a resolver con esa restricción, o no, para enviarte de nuevo la pregunta. Que ese en si era mi problema.

Saludos

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Experto

Las cosas se resuelven de la manera más sencilla posible.  El hacer una integral triple donde se puede hacer con una simple es una tontería.  Si la matemática no se apoyase en resultados ya calculados antes y cada cual tuviésemos que empezar por nuestra cuenta vaya progreso llevaríamos.  Qué sentido tiene añadir otra integral simple o doble doble para calcular el área de las rodajas cuando ya sabemos el área que tienen.  Aparte que la integral sale complicadísima.  Y si las figuras son esféricas para eso están las coordenadas esféricas para integrar con ellas.  Y si se quiere integrar con rectangulares se procura aplicarlas inteligentemente, que no por hacerlo más difícil es mejor.

Un saludo

 

 

Usuario

Te voy a dar este puntaje en consideración que eres un experto, pero ojo que leíste la pregunta y cual es el problema que tenia, y me diste otra respuesta a pesar que leíste cual es la restricción, como tu lo dices las coordenadas esféricas, coordenadas cilíndricas surge para facilitar los cálculos incuso no se si halla otras coordenadas para facilitar los cálculos, también surgen matemáticas que han sido creadas asi como la geometría esférica, la geometría de lobachesky que contribuyen a la ciencia, y otros muchos otros aportes muy interesantes.

Retornando al tema, como tu lo dices esa integral aparentemente sale complicadísima, pero la vi desde otro angulo, y ya lo resolvi, como tu lo dices un matemático no se pasaría su vida en leer casi toda la historia de la matemática y volver a inventar la rueda, pero tampoco creo  que un matemático diría que un problema no le va a salir.

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Experto

Los estudios iniciales donde se calcula

a= (r^2+h^2-R^2)/2h

son iguales.

La esfera la proyectaremos sobre el plano xz. Es la misma que se calculó antes pero ahora su ecuación será

x^2 + z^2 - 2az = R^2

Y los cortes con planos paralelos al plano xy serán círculos donde el radio de cada una será

sqrt(z^2 - 2ay - R^2)

Todo esto es más o menos lo que ya hice antes con ligeras modificaciones.

Y ahora viene lo distinto, en vez de usar la fórmula del área del círculo calcularemos el área de cada uno como una integral doble.  Y con todo ello la integral triple es:

[math]\begin{align}&\int_0^h\int_{-\sqrt{R^2+2az-z^2}}^{\sqrt{R^2+2az-z^2}}\int_{-\sqrt{R^2+2az-z^2-x^2}}^{\sqrt{R^2+2az-z^2-x^2}}dy\,dx\,dz =\\ &\\ &\\ &\int_0^h\int_{-\sqrt{R^2+2az-z^2}}^{\sqrt{R^2+2az-z^2}}\left[y\right]_{-\sqrt{R^2+2az-z^2-x^2}}^{\sqrt{R^2+2az-z^2-x^2}}dxdz=\\ &\\ &\\ &\int_0^h\int_{-\sqrt{R^2+2az-z^2}}^{\sqrt{R^2+2az-z^2}}2 \sqrt{R^2+2az-z^2-x^2}\;dxdz =\\ &\\ &\\ &\text{Cambio de variable}\\ &\\ &x = \sqrt{R^2+2az-z^2}sen \rho\\ &dx= \sqrt{R^2+2az-z^2}\cos \rho\\ &x=-\sqrt{R^2+2az-z^2} \implies \rho=arcsen (-1)=-\frac{\pi}{2}\\ &x=\sqrt{R^2+2az-z^2} \implies \rho=arcsen (1)=\frac{\pi}{2}\\ &\text{Lo siento pero se atasca el editor de ecuaciones}\\ &\text{hay que ahorrar pasos, daré uno bien largo}\\ &\\ &=2\int_0^h\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(R^2+2az-z^2)\cos^2 \rho \;d\rho dz\\ &\\ &2\int_0^h (R^2+2az-z^2)\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+cos2\rho}{2}d\rho dz\\ &\\ & 2\int_0^h (R^2+2az-z^2) \left[ \frac{\rho}{2}+\frac{sen2\rho}{4} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2}dz=\\ &\\ &2\int_0^h (R^2+2az-z^2)\left(\frac{\pi}{4}+0+ \frac{\pi}{4}-0\right)dz=\\ &\\ &\pi \int_0^h(R^2+2az-z^2)dz =\\ &\\ &\\ &\pi \left[ R^2z+az^2-\frac{z^3}{3}\right]_0^h=\\ &\\ &\\ &\pi \left(R^2h+ah^2-\frac{h^3}{3}\right)=\\ &\\ &\\ &\pi \left(R^2h + \frac{r^2+h^2-R^2}{2h}h^2 -\frac{h^3}{3}\right)=\\ &\\ &\\ &\pi \left( R^2h+\frac{r^2h}{2}+\frac{h^3}{2}-\frac{R^2h}{2}-\frac{h^3}{3} \right)=\\ &\\ &\\ &\pi h \left(\frac{R^2}{2}+\frac{r^2}{2}+\frac{h^2}{6} \right)=\\ &\\ &\\ &\frac{\pi h}{6}(3R^2+3r^2+h^2)\\ &\end{align}[/math]

 

 

No necesito tus puntos para sobrevivir, podría gastar las horas de trabajo que me das con tus problemas enrevesados en vivir algo.  Solo falta que escatimes en puntos, verás donde se va todo.  Te voy a poner una tarifa especial de puntos para ti, de alguna manera hay que amortizar el trabajo ingente que hago contigo.

Un saludo.

Usuario

Claro que nadie necesita puntos para sobrevivir, acepto que los ejercicios son enrevesados,  el máximo que hay es 5 puntos  y eso te voy a poner hagas o no el problema, por tu tiempo en contestar las preguntas, en tal caso te pondría mas puntaje, también considero que ambos resultamos beneficiados, no lo tomes a mal, lo digo porque las preguntas son exigentes y ayuda a que apliques tu conocimiento ayudando a los demás.

Algunos problemas que yo te mando son con restricciones, y como en este caso la solución que mandaste inicialmente no era la solución a la pregunta pero si al problema, pero lo que necesitaba era la solución a la pregunta.

Saludos