Pregunta de integrales triples

Halle el volumen de una zona esférica

http://www.vitutor.net/2/2/43.html

usando integrales triples usando las coordenadas cartesianas

(Básate en esa restricción, pues yo he demostrado con coordenadas cilíndricas, y coordenadas esféricas, y no quisiera la solución tomando esas coordenadas, lo que necesito es el desarrollo con el uso de las cartesianas).

Saludos.

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¡Hola Fabian_pdl!

He tenido unos días de actividad frenética tanto aquí como en la vida normal.

El dibujo de la página wed nos servirá en parte.

No voy a hacerlo por integral triple sino por simple. Como los elemento diferenciales del volumen que voy a tomar van a ser rodajas cortadas por planos horizontales eso tendrá el volumen de un circulo multiplicado por el diferencial de la altura. De sobras sabemos que el área del circulo es Pi·r^2 y nos evitamos 2 integrales anidadas sabiendo eso.

Hacemos la proyección sobre el plano de visión y queda por tanto el problema reducido a saber cuál es la función que nos dará el radio de cada rodaja que forma parte de la zona esférica.

Ahora uso los ejes normales del plano, hay una circunferencia y dos secantes paralelas.

Haré que la secante inferior de radio R se superponga con el eje X, entonces corta a la circunferencia por la derecha en (R, 0). Y la secante superior corta por la derecha a la circunferencia en (r, h)

El centro de la circunferencia será el punto equidistante de estos que ademas está en el eje Y,

Luego será de la forma (0,a) y cumpliendo

R^2 + a^2 = r^2 +(h-a)^2

R^2 + a^2 = r^2 + h^2 - 2ah + a^2

R^2 = r^2 + h^2 - 2ah

2ah = r^2+h^2-R^2

a= (r^2+h^2-R^2)/2h

Luego el centro de la circunferencia es (0, (r^2+h^2-R^2)/2h)

y el radio de la circunferencia será la distancia al punto (R,0) por ejemplo. Aunque como solo me interesa el cuadrado de ese radio me evitare escribir la incomoda raíz cuadrada y lo llamaré S

S^2 = R^2+a^2

La ecuación de la circunferencia será

x^2 + (y-a)^2 = S^2 = R^2+a^2

x^2 + y^2 - 2ay + a^2 = R^2 + a^2

x^2 + y^2 - 2ay = R^2

Lo que nos interesa es el radio de las rodajas que es la coordenada x de esta circunferencia. Peo no siquiera eso, lo que nos interesa es ese radio de las rodajas al cuadrado que multiplicado por Pi nos dará el área de cada rodaja

x^2 = R^2 + 2ay - y^2

Área de la rodaja a altura y = Pi(R^2 + 2ay - y^2)

Y ahora, integrando está función de área entre 0 y h nos dará el volumen de la zona esférica.

$$\begin{align}&V=\pi\int_0^h (R^2+2ay-y^2)dy=\\ &\\ &\pi\left[ R^2y+ay^2-\frac{y^3}{3} \right]_0^h=\\ &\\ &\pi \left(hR^2+ah^2 -\frac{h^3}{3}\right)=\\ &\\ &\pi \left(hR^2+\frac{(r^2+h^2-R^2)h^2}{2h} -\frac{h^3}{3} \right)=\\ &\\ &\pi \left(hR^2+\frac{r^2h+h^3-R^2h}{2}-\frac{h^3}{3}  \right)=\\ &\\ &\pi\left(\frac{6hR^2+3r^2h+3h^3-3R^2h-2h^3}{6}  \right)=\\ &\\ &\frac{\pi h}{6}(3R^2+3r^2+h^2)\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Un saludo.

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