Volumen con integrales dobles.
Encuentra el volumen de la región solida encerrada en el primer octante por el paraboloide z=x²+y² y el plano z=2
1 Respuesta
El paraboloide es parecido a la copa de un cáliz y el plano z=2 sería la tapa del cáliz
El plano corta al paraboloide en una circunferencia
x^2 + y^2 = 2
cuyo radio es sqrt(2) ya que la ecuación canónica de una circunferencia es
(x-h)^2 +(y-k)^2 = R^2
luego
R^2=2
R = sqrt(2)
El primer octante es el que tiene x, y, z positivos. Luego el dominio será un cuarto de circunferencia de radio sqrt(2)
$$\begin{align}&V=\int_0^{\sqrt 2}\int_0^{\sqrt{2-x^2}}(2-x^2-y^2)dydx=\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 2}\left[2y-x^2y-\frac{y^3}{3} \right]_0^{\sqrt{2-x^2}} =\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 2}\left((2-x^2)\sqrt{2-x^2}-\frac{\sqrt{(2-x^2)^3}}{3} \right)dx=\\ &\\ &\frac 23\int_0^{\sqrt 2}(2-x^2)^{\frac 32}dx\end{align}$$No es una integral sencilla precisamente precisamente, por si la conoces es de las binomias, y ahora tengo que ir a dormir. Si acaso mañana las repaso y la hago. También pienso que a lo mejor podríamos haber hecho un cambio a coordenadas cilíndricas, puede que saliese más fácil, pero eso también tengo que repasarlo, si no lo haces continuamente te olvidas de como se hace ese cambio.
No, no es de las binomias es más sencilla.
$$\begin{align}&\frac 23\int_0^{\sqrt 2}(2-x^2)^{\frac 32}dx =\\ &\\ &x= \sqrt 2\,sen\,t\quad dx = \sqrt 2 \cos t\\ &x=0 \implies t=0\\ &x=\sqrt 2 \implies \sqrt{2}=\sqrt{2}\,sen\,t\implies \\ &\quad \quad \quad sen\,t=1\implies t=\frac{\pi}{2}\\ &\\ &=\frac 32\int_0^{\pi/2}(2-2sen^2t)^{3/2}\sqrt 2\,\cos\,t\,dt=\\ &\\ &=\frac 32\int_0^{\pi/2}2^{3/2}\sqrt 2(1-sen^2t)^{3/2}\cos\,t\,dt=\\ &\\ &\frac{3}{2}·2^{3/2}2^{1/2}\int_0^{\pi/2}{(\cos^2t)^{3/2}}cost\,dt =\\ &\frac 32·2^{4/2} \int_0^{\pi/2}\cos^4t\,dt\\ &\\ &\end{align}$$La integral de cos^4(t) no es difícil pero lleva su trabajo.
Luego olvídate de todo lo hecho y voy a hacer lo que tenía que haber hecho desde el principio. Sabemos de sobra que estos problemas los ponen para resolverse por cambio de variable múltiple. En este caso veo que tiene problemas el cálculo del parámetro ro (vector tridimensional) de las esféricas luego probaré con las cilíndricas cuyo vector ro está en el plano.
El ángulo theta variará entre 0 y Pi/2 por ser el primer octante, el radio vector ro varía 0 y raíz de 2, y la z es la misma luego varía en [x^2+y^2, 2] El Jacobiano del cambio vale ro.
Y el cambio es
x = ro·cos(theta)
y = ro·sen(theta)
z=z
Cabe prestar atención a que se cumple x^2+y^2 = ro^2
Todo esto de la forma de hacer el cambio son cosas que tendrás en la teoría si necesitas que lo explique mejor dímelo.
$$\begin{align}&V=\int_0^{\sqrt 2}\int_0^{\sqrt{2-x^2}}\int_{x^2+y^2}^2dz\,dy\,dx=\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 2}\int_0^{\pi/2}\int_{\rho^2}^2\rho \,dz\,d\theta\,d\rho=\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 2}\int_0^{\pi/2}\left. \rho z \right|_{\rho^2}^2 \;d\theta\,d\rho =\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 2}\int_0^{\pi/2}(2\rho-\rho^3)d\theta\,d\rho=\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 2}\frac{\pi}{2}(2\rho-\rho^3)d\rho =\\ &\\ &\frac{\pi}{2}\left[p^2-\frac{\rho^4}{4} \right]_0^{\sqrt 2}= \frac{\pi}{2}(2-1-0+0)=\frac{\pi}{2}\end{align}$$Y eso es todo, desde luego que era por cambio de variable múltiple.
Espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar.
