Resolver el siguiente ejercicio de razón de cambio

Veamos en que posición están a las 2:30. Pondremos el origen del sistema de coordenadas en la ciudad

El avión primero paso a las 12 sobre la ciudad, llamemos 0 a ese instante del tiempo

Como va en dirección sur sus coordenadas en el eje Y son negativas. Si llamamos t al tiempo en horas transcurrido desde las 12, la posición es

(0, -320t)

El avión segundo pasará media hora más tarde, es decir, le faltan 200 km para llegar al origen en el tiempo t=0. Como va en dirección este eso significa que esta 200 a la derecha de origen.

Sus coordenadas en el tiempo serán

(200 - 400t, 0)

Calculamos la distancia entre ambos

$$\begin{align}&d=\sqrt{(200-400t)^2+(320t)^2} =\\ &\\ &\sqrt{40000-160000t+160000t^2+102400t^2}=\\ &\\ &\sqrt{262400t^2-160000t+40000}=\\ &\\ &\text{Se puede sacar factor común 1600}\\ &\text{Que saldrá fuera de la raíz como 40}\\ &\\ &=40 \sqrt{164t^2-100t +25}\end{align}$$

Y ahora la velocidad con que se distancian será la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.

$$\begin{align}&d(t)=40 \sqrt{164t^2-100t +25}\\ &\\ &v(t) = d´(t) = \frac{40(328t-100)}{2 \sqrt{164t^2-100t +25}}=\\ &\\ &\frac{20(328t-100)}{ \sqrt{164t^2-100t +25}}\\ &\\ &\text{A las 2:30 han pasado 2.5h }\\ &\\ &v(2.5)=\frac{20(328·2.5-100)}{ \sqrt{164·2.5^2-100·2.5 +25}}=\\ &\\ &\frac{14400}{20 \sqrt 2}=\frac{720}{\sqrt 2}=360 \sqrt 2 \;km/h\approx\\ &\\ &\\ &509.1168825\;km/h\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.