1. Halle la ecuación de la recta,

1)

Un hecho notable es que una tangente a una circunferencia es perpendiculares al radio que va a ese punto de tangencia.

Al estar la circunferencia centrada en el origen, el vector (1,2) es un radio de la circunferencia que va precisamente al punto de tangencia, luego el vector (1,2) es perpendicular al vector de la recta. El vector de la recta se calcula fácilmente que es (2,-1) porque si hacemos el producto escalar de ambos:

(1,2)(2,-1) = 1·2 - 2·1 = 0

Luego ya tenemos el vector (2, -1) y un punto (1,2) suficiente para calcular rápidamente la ecuación de la recta mediante la fórmula

y = y1 + p(x-x1)

Donde (x1, y1) es el punto y p la pendiente. Solo nos falta calcular la pendiente de la recta que no es otra cosa que el cociente de la coordenada y entre la coordenada x del vector

p = -1/2

y = 2 -(1/2)(x-1) = 2 - x/2 +1/2 = x/2 + 5/2

y = x/2 + 5/2

Creo que quedará mejor con la ecuación implícita. Multiplicamos por 2 y lo pasamos todo a la derecha

2y = x +5

x - 2y + 5 = 0

b) Halle el área del triangulo que determina la recta 2x + 4y - 12 = 0 con los semiejes coordenados.

Veamos cuáles son los puntos de corte con los ejes

Cuando x=0

4y -12 = 0

4y = 12

y = 3

El punto (0, 3)

Y cuando y = 0

2x -12 = 0

2x = 12

x = 6

El punto (6,0)

Los puntos (0,3), (0, 6) y (0, 0) forman un triángulo donde la base es 6 y la altura 3, luego:

área = 6·3/2 = 9 unidades cuadradas.