Excedente función de la demanda

La función de la demanda de un producto es: P= sqrt(49-6x)

Y la función de la oferta: p= x+1
Se pide:
Determinar los excedentes del consumidor y del productor.

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Antes de nada recordar que en esta página no nos dejan usar la variable equis porque el p corrector la cambia por "por", así que en su lugar pondré z

Primero hallamos el punto de equilibrio que es muy necesario para las fórmulas

sqrt(49-6z) = z+1

49-6z = z^2 + 2z +1

z^2 + 8z - 48 = 0

z = [-8 +-sqrt(64+192)]/2 = [-8 +-sqrt(256)]/ 2 = (-8+-16)/2 = 4 y -12

No tiene sentido un resultado negativo para nuestro problema, luego la solución es z=4

Y siendo z = 4 tenemos p=z+1=5

Luego el punto de equilibrio es z=4 y p=5

El excedente del consumidor es la integral definida que comprende el área entre la función de la demanda y la recta horizontal que pasa por el punto de equilibrio

EC = $[sqrt(49-6z)-5]dz entre 0 y 4 =

(-1/6)(49-6z)^(3/2) - 5z entre 0 y 4 =

(-1/6)(25)^(3/2) - 20 + (1/6)(49)^(3/2) =

-125/6 -20 + 343/6 =

(218-120)/6 = 98/6

EC = 16,333...

Y el excedente del productor es la integral definida que comprende el área entre la recta horizontal que pasa por el punto de equilibrio y la función oferta

EP = $[5-(z+1)]dz entre 0 y 4 =

6z - (1/2)z^2 entre 0 y 4 = 24 - (1/2)4^2 = 16

EP = 16

Y eso es todo.

Muchas gracias me quedo claro todo, saludos.

Es cierto que hice mal las integrales, hace 4 años no había editor de ecuaciones y era más complicado hacerlas. Además entonces una vez eran puntuadas las pregunta ya no se podían modificar de ninguna manera y aun cuando más tarde me di cuenta ya no se podía hacer nada. Fue en el año 2014 cuando se modificó la estructura de la página y se pudo corregir preguntas anteriores. Comprenderás que yo con unas 4000 preguntas anuales que respondo no puedo acceder a unas 12000 que tenía contestadas, solo si se lo dice alguien puede revisar una respuesta concreta.

$$\begin{align}&EC=\int_0^4\left(\sqrt{49-6z}-5\right)dz=\\&\\&u=49-6z\\&du = -6dz\implies dz=-\frac 16\,du\\&z=0\implies u=49\\&z=4\implies u=25\\&\\&= -\frac 16\int_{49}^{25}(\sqrt u-5)du=\\&\\&-\frac 16\left[\frac 23 u^{\frac 32}-5u  \right]_{49}^{25}=\\&\\&-\frac 16\left(\frac 23·25^{\frac 32 }-125-\frac 23·49^{\frac 32}+5·49  \right)=\\&\\&-\frac 16\left(\frac 23·125-125-\frac 23·343+245  \right)=\\&\\&-\frac 16\left(\frac {250-686}3+120  \right)=-\frac 16\left(\frac{-436+360}{3}  \right)=\\&\\&\frac {76}{18}=\frac{38}{9}=4.2222....\\&\\&\\&\\&EP=\int_0^4(5-(z+1))dz=\int_0^4(4-z)dz=\\&\\&\left[4z - \frac{z^2}2  \right]_0^4= 16-8-0+0=8\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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