Ejercicio de estadística 07
Cierta fabrica utiliza dos procesos de fabricación distintos para cierto tipo de procesadores. Sea X e Y las v.a.s. Del tiempo de vida de los procesadores sometidos a cada proceso de fabricación.
Si se sabe que las v.a.s (X, Y) tiene la siguiente función de densidad conjunta:
f(x,y)={(h_1.h_2.e^(-(h_1 x+h_2 y)) ;x=0 ; y=0
0;en el resto.
Siendo h_1=(1/200) y h_2=(1/300)
(h=lambda; h_1=lambda con subíndice 1, h_2=lambda con subíndice 2)
1. Calcula la probabilidad de que el tiempo de vida de los procesadores caracterizados por X sea mayor que el de los caracterizados por Y.
2. Calcula la función de distribución de X condicionada a Y.
3. Diga si X e Y son variables independientes.
1 respuesta
No tengo memoria de haber hecho problemas de densidad conjunta. La estadística solo fue un curso de mi carrera. No vendría mal si me dijeras el libro que usas para poder estudiar la teoría y dar mejor las respuestas o incluso aprender aquello que necesito para responder alguna pregunta.
La haré más sencillo
a=1/200
b=1/300
f(x,y) = abe^(-ax-by) con x>0 e y>0; 0 en el resto
He puesto los signos > aunque tu habías puesto =
1) P(X>Y) = $$ abe^(-ax-by) dy dx con x>y =
ab$$e(-ax-by)dy dx con x€(0,+oo) y€(0,x) =
La integración respecto a y es
-e^(-ax-by)/b
que evaluado entre 0 y x es
-e^(-ax-bx)/b + e^(-ax)/b
Con esto nos queda esta integral
a$[e^(-ax)-e^(-(a+b)x)] dx con x€(0,+oo) =
a[-e^(-ax)/a + e^(-(a+b)x)/(a+b)] con x€(0,+oo) =
Estas exponenciales de exponente negativo tienden a cero en el +oo y a uno en el cero
1 - a/(a+b) = b/(a+b) = (1/300) / (1/200 + 1/300) = (1/300)/( 500/60000) = 60000/150000 = 2/5
2)
Lo dejo de momento, ya he agotado todo mi tiempo, espera a que termine en otro momento aunque no tengo claro cuando. Si acaso haz lo que te decía, dime qué libro estás usando para ver si lo consigo en internet, porque esta materia ya es bastante avanzada para los estudios que di yo.
Le repito, desconozco de donde son sacados los ejercicios, porque nos lo da el profesor del curso, y no sé como hacerle llegar los folletos para que lo revise. en otro punto, en el ejercicio extrajo ab de las integrales porque al final solo trabaja con a?
perdón, ya me di cuenta.
2) Del libro Estadística Matemática con Aplicaciones de Wackerly extraigo la teoría.
Dice que la función de distribución de Y1 condicionada a Y2 es
F(y1 | y2) = $[f(t1,y2)/f2(y2)]dt1 entre -infinito e y1
Donde f(y1, y2) es la función de distribución conjunta, y f2(y2) es la función de densidad marginal de Y2 que se define como
f2(y2) = $ f(y1,y2) dy1 entre -infinito y +infinito.
Para la notación que hemos usado nosotros pondremos
y1=x
y2=y
Pues vayamos por partes, primero calculamos f2(y)
f2(y) = $abe^(-ax-by) dx; con x entre 0 y +oo =
-be^(-ax-by); con x entre 0 y +oo =
0 +be^(-by)
f2(y) = be^(-by)
Y ahora
F(x | y) = ${abe(-at-by) / [be^(-by)]} dt; con t entre 0 e x =
$ae^(-at)dt; con t entre 0 e x =
-e^(-at); con t entre 0 e x =
-e^(-ax) + 1
F(x,y) = 1 - e^(-x/200)
3) En el mismo libro dice que 2 variables continuas X e Y son independientes si y solo si
f(x, y) = f1(x)·f2(y) para todos los pares de números reales (x, y)
Donde f es la función de densidfad conjunta y f1 y f2 las funciones de dsitribución marginales.
Ya calculamos antes f2(y) = be^(-by)
De al misma forma podemos comprobar que f1(x) = ae^(-ax)
Con lo que aplicando propiedades básicas de las exponenciales
f1(x)·f2(y) = abe^(-ax-by) = f(x,y)
Por lo cual X e Y son independientes.
Y eso es todo.
