Movimiento ondulatorio

Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación y= 5 sen (pi x/3) cos (40 pi t). Hallar:
a)Amplitud y velocidad de las ondas cuya superposición puede dar lugar a dicha vibración.
b)Distancia entre nodos
c)Velocidad de una partícula de la cuerda situada en 1.5 m cuando t= 9/8 s.
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Respuesta de
Las ondas estacionarias se forman al interferir dos ondas viajeras de la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero que viajan en sentido contrario ( por ejemplo haciendo interferir una onda con su reflexión.
En tal caso, si las ondas viajeras son
y1(x,t)=A*sen(Wt-Kx)
y2(x,t)=Asen(Wt+Kx)
la interferencia será
y=y1+y2=
Asen(Wt-Kx)+Asen(Wt+Kx)
A[sen(Wt-Kx)+sen(Wt+Kx)]
Como
sen(A+B)=senAcosB+cosAsenB
seb(A-B)=senAcosB-cosAsenB
y(x,t)=
A[sen(wt)cos(Kx)-cos(Wt)sen(Kx)+sen(Wt)cos(Kx)+cos(Wt)sen(Kx)]
y(x,t)=2*A*cos(Kx)*sen(Wt)
Las funciones senos y cosenos pueden estar intercambiadas dependiendo si las ondas viajeras tenían un desfase inicial. Lo importante es que lo que multiplica al tiempo es W, y lo que multiplica a por es el número de onda K
En tu caso
y(x,t)=5*sen(Pi*x/3)*cos(40*Pi*t)
y(x,t)=2*A*sen(Kx)cos(Wt)
Comparando
1º 2A=5-->A=2.5 m (Amplitud de las ondas viajeras)
2º K=Pi/3-->número de ondas de las ondas viajeras
3º W=40*Pi-->frecuencia angular
a)A=2.5 m
K=2*Pi/lambda
lambda=2*Pi/K=2*Pi/(Pi/3)=6 m -->longitud de onda
W=2*Pi*f
f=W/(2*Pi)=40*Pi/(2*Pi)=20 Hz --> frecuencia
La velocidad es
V=lambda*f=6*20=120 m/sg
o bien
V=W/K=40*Pi/(Pi/3)=120 m/sg
b) Los nodos son aquellos puntos en los que la vibración es nula en todo instante, o sea
y(x,t)=2*A*sen(Kx)cos(Wt)=0 para todo t
sen(Kx)=0
Kx=n*Pi, con n=0,1,2...
como K=2*Pi/lambda
2*Pi/lambda * x=n*Pi
x=n*lambda/2
o sea, los nodos serán
x=0,lambda/2, 2*lambda/2, 3*lambda/2, 4*lambda/2....
x=0,3,6,9...
La distancia entre dos nodos consecutivos será
d=lambda/2 = 6/2 = 3m
c)Para calcular la velocidad de vibración, derivamos y respecto el tiempo
y(x,t)=5*sen(Pi*x/3)*cos(40*Pi*t)
V=dy/dt=-5*sen(Pi*x/3)*40*Pi*sen(40*Pi*t)
V(x,t)=-200*Pi*sen(Pi*x/3)*sen(40*Pi*t)
Si x=1.5m y t=9/8=1.125 sg
V(1.5,1.125)=-200*Pi*sen(Pi*1.5/3)*sen(40*Pi*1.125)
V=-200*Pi*sen(Pi/2)*sen(45*Pi)
V=0
Por cierto el punto está situado a lambda/4, y es un vientre ( punto de máxima oscilación), y en ese instante está situado en un extremo
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