Duda sobre problema de volados
Tengo un problema que dice:
Tres jugadores A,B y C lanzan dados de dos en dos por turnos. Primero juega A contra B, después juega C con quien haya ganado el primer volado, y asi sucesivamente hasta que un jugador gane dos veces consecutivas ¿Cual es la probabilidad de que el ganador final sea A? ¿Cual de que sea C?
Lo que yo entiendo es que si primero gana A entonces juega contra C, si gana C entonces juega contra B pero si gana A entonces se acaba el juego, de ser asi me resulta muy difícil encontrar el espacio muestral.
1 Respuesta
Pues no sé si habréis estudiado alguna teoría especial sobre este tipo de problemas. Lo intentaré deducir.
Está claro que A y B deben tener la misma probabilidad de ganar porque nada les diferencia. Y que C debe tener una probabilidad menor de ganar por supuesto
Las secuencias de los ganadores pueden ser
AA 1/4
BB 1/4
ACC 1/8
BCC 1/8
ACBB 1/16
BCAA 1/16
ACBAA 1/32
BCABB 1/32
ACBACC 1/64
BCABCC 1/64
ACBACBB 1/128
BCABCAA 1/128
ACBACBAA = 1/256
BCABCABB = 1/256
En realidad toda secuencia tiene su secuencia gemela cambiando A con B
Y ahora sumemos las probabilidades de cada uno
P(ganar A) = P(ganar B) = 1/4 + 1/16 + 1/32 + 1/128 + 1/256 + ...
Luego lo estudiaremos mejor su hace falta, creo que es más fácil calcular la de C.
Cuando C pierde, se queda un turno sin jugar y luego necesita ganar dos, luego transcurren tres partidas hasta que puede volver a ganar, la probabilidad es 8 veces menor
P(ganar C) = 1/8+1/8 + 1/64+1/64 + 1/ 512 +1/512 =
1/4 + 1/32 + 1/256 + 1/2048 + 1/16384
Esto es la suma infinita de una progresión geométrica de razón 1/8.
La fórmula de dicha suma es:
$$S_{\infty}=\frac {a_1}{1-r}= \frac{\frac 14}{1-\frac 18}=\frac{\frac 14}{\frac 78}=\frac{8}{28}=\frac 27$$P(Ganar C) = 2/7 = 0.2857142857
P(Ganar A) = P(Ganar B) = (1 - 2/7)/2 = (5/7)/2 = 5/14 = 0.3571428571
Y eso es todo.
